El cómputo de mayores (2015) orden de la derivada parcial de $1/(x^2+y^2)$

Question

Supongamos $$f(x,y) = \frac{1}{x^2 + y^2}\text{.}$$

Encontrar $$\frac{\partial^{2015} f}{\partial x^{2015}}\text{.}$$

Answer 1

Supongo que significaba $\dfrac{\partial^{2015}f}{\partial x^{2015}}$.

Sugerencia: Split $$\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{1}{2iy}\left[\frac{1}{x-iy}-\frac{1}{x+iy}\right]$$

Answer 2

Sugerencia: Utilice la serie geométrica: $$\frac1{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^{2n}.$$

Answer 3

Hemos de remolque de la serie, uno para $x<1$ y el segundo para $x\geq1 $ como seguir

para $x<1$ $$\frac{1}{y+x^2}=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{y^n} $$ $$z_x^{2015}=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\frac{x^{2n-2015}}{y^n}\prod_{k=0}^{2014}(2n-k)$$ Para $x\geq1 $

En primer lugar, vamos a tomar la primera derivada de la $\frac{1}{y+x^2}$ igual $\frac{-2x}{(y+x^2)^2} $

La serie de $\frac{-2x}{(y+x^2)^2} $

$$z_x=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n+1}(2n+2)y^n}{x^{2n+3}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)^{n+1}(2n+2)}y^nx^{-2n-3}$$ $$z_x^{2015}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)^{n+1}(2n+2)}y^nx^{-2n-3-2014}\prod_{k=0}^{2013}(-2n-3-k)$$