Calcular El Límite De $ \lim\limits_{x\to 0} \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2} \frac{f(x)}{x} $

Question

Hoy he tenido un examen y el siguiente problema se acercó. No tengo absolutamente ninguna idea de cómo acercarse a este. Cualquier ayuda en la solución de esto es apreciado!

$$ \lim_{x\to 0} \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2} \frac{f(x)}{x},\qquad f(0) = 0$$

Answer 1

La segunda derivada de $f(x)/x$ se puede encontrar con dos aplicaciones de la regla de cocientes: $$\frac{x^2f''(x)-2xf'(x)+2f(x)}{x^3}.$$ Ahora para evaluar el límite de este como $x\to0$ podemos tomar Iasafro la sugerencia de los comentarios de el uso de un truco llamado la regla de L'Hôpital. Tomando la derivada del numerador y el denominador anterior conduce a un montón de cancelación de términos, que viene a ser $$\frac{f'''(x)}{3}.$$ Taking the limit gives $f"'(0)/3$.