La confusión sobre demostrando $\frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4} + \dotsb + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}$ por inducción

Question

Yo sé lo que la respuesta a esta pregunta, pero no estoy seguro de cómo la respuesta fue alcanzado y realmente me gustaría entenderlo! Estoy omitiendo el caso base porque no es relevante para mi pregunta.

Inductivo hipótesis:

$$\frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4} + \dotsb + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}$$ is true when $n = k$ and $k > 1$

Por lo tanto: $$\frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4} + \dotsb + \frac{1}{k(k+1)} = \frac{k}{k+1}$$

Inductivo paso:

Demostrar que $$\frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4} + \dotsb + \frac{1}{k(k+1)} = \frac{k+1}{k+1+1} = \frac{k+1}{k+2}$$

$$\frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4} + \dotsb + \frac{1}{k(k+1)} = \left[\frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4} + \dotsb + \frac{1}{k(k+1)}\right] + \frac{1}{(k+1)(k+2)}$$

$$\frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4} + \dotsb + \frac{1}{k(k+1)} = \frac{k}{k+1} + \frac{1}{(k+1)(k+2)}$$

$$\frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4} + \dotsb + \frac{1}{k(k+1)} = \frac{k+1}{k+2}$$

Lo estoy confundido es que el $\frac{1}{(k+1)(k+2)}$ proviene de que en la primera línea de el paso inductivo. Por favor alguien puede explicar esto un poco más en detalle? La fuente de la respuesta explica como "romper el último término de la suma", pero estoy claro en lo que significa.

Answer 1

Usted desea mostrar

$$\sum_{j=1}^n \frac{1}{j(j+1)} = \frac{n}{n+1}$$

El paso inductivo implica asumir que tiene de $n=k$ y, a continuación, mostrar que tiene también para $n=k+1$. Por lo que supone

$$\sum_{j=1}^k \frac{1}{j(j+1)} = \frac{k}{k+1}$$

y mostrar

$$\sum_{j=1}^{k+1} \frac{1}{j(j+1)} = \frac{k+1}{(k+1)+1}.$$

El lado izquierdo de la suma arriba también puede ser escrita así:

$$\sum_{j=1}^{k+1} \frac{1}{j(j+1)} = \left[\sum_{j=1}^{k} \frac{1}{j(j+1)}\right] + \frac{1}{(k+1)(k+2)}.$$

Este es romper el último término de la suma. Ahora usted puede sustituir la perspectiva de la asunción de la suma entre corchetes:

$$\sum_{j=1}^{k+1} \frac{1}{j(j+1)} = \left[\frac{k}{k+1}\right] + \frac{1}{(k+1)(k+2)}.$$

Ahora usted necesita mostrar que

$$\frac{k}{k+1} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{k+1}{k+2},$$

y listo.

Answer 2

El caso base $n=1$ es cierto. Suponga que para algunos $n> 1$

$$\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}$$

Entonces, tenemos

$$\begin{align} \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)}&=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\\\\ &=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\\\\ &=\frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}\\\\ &=\frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}\\\\ &=\frac{n+1}{n+2} \end{align}$$

lo que completa la prueba por inducción.

Answer 3

La hipótesis inductiva es $$\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\cdots+\frac{1}{k(k+1)} =\frac{k}{k+1}.\tag1$$ Usted necesita demostrar que (1) implica la instrucción que recibí de (1) mediante la sustitución de $k$ $k+1$ . Este es $$\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\cdots+\frac{1} {k(k+1)(k+2)} =\frac{k+1}{k+2}\tag2$$ pero en lugar de (2) $$\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\cdots+\frac{1}{k(k+1)} =\frac{k+1}{k+2}$$ que está mal, y esta es la causa de su confusión. El inductivo la prueba se inicia con el reconocimiento de que $$\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\cdots+\frac{1} {k(k+1)(k+2)} =\left[\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\cdots+\frac{1}{k(k+1)} \right]+\frac1{(k+1)(k+2)}.$$

Answer 4

"Lo que yo estoy confundido es que el 1/(k+1)*(k+2) viene en la primera línea de el paso inductivo."

Se trata porque usted está tratando de evaluar la $n = k+1$

Quiere probar que la declaración de $\frac 1{1*2} + .....+ \frac 1{(n-1)(n)} + \frac 1{n*(n+1)} = \frac n{n+1}$.

Para $n = k$ si se sustituye $n$ $k$ usted está asumiendo $\frac 1{1*2} + .....+ \frac 1{(k-1)(k)} + \frac 1{k*(k+1)} = \frac k{k+1}$.

Si reemplaza $n$ $k + 1$ reciba el estado de cuenta:

$\frac 1{1*2} + .....+ \frac 1{(k-1)(k)} + \frac 1{k*(k+1)}+ \frac 1{(k+1)(k+1)} = \frac {k+1}{k+2}$.

Y esa es la declaración que desea probar.

Estamos asumiendo $\frac 1{1*2} + .....+ \frac 1{(k-1)(k)} + \frac 1{k*(k+1)} = \frac k{k+1}$

Por lo $\frac 1{1*2} + .....+ \frac 1{(k-1)(k)} + \frac 1{k*(k+1)}+ \frac 1{(k+1)(k+1)} = \frac k{k+1} + \frac 1{(k+1)(k+1)}$

Usted sólo tiene que demostrar que $\frac k{k+1} + \frac 1{(k+1)(k+1)}= \frac {k+1}{k+2}$.

.....

De todos modos, ciertamente no transcribir a la prueba correctamente.