Encontrar la solución general de la no homogénea de la ecuación.

Question

Q. Encontrar la solución general de la no homogénea de la ecuación.

$$\frac{dy}{dt}+y=te^t$$

Así que aquí están mis pasos:

1. Encontrar $\mu (t)=e^t$

2. $y(t) e^t= \int e^t \times te^t$

   Así que, he combinado los términos y obtenido:

3. $y(t) e^t= \int te^{2t} $

y a partir de ahí me puse por integración por partes y tengo:

$$y(t) e^t= \frac{1}{2}t e^{2t}-\frac{1}{4}e^{2t}+c $$

entonces me dividido por $e^t$ $$y(t)= \frac{\frac{1}{2}t e^{2t}-\frac{1}{4}e^{2t}+c}{e^t} $$

Después de simplificar, he obtenido: $$y(t)=\frac{1}{2}e^t[t-\frac{1}{2}]+c$$

cual es la solución general.

Sólo quiero a alguien para comprobar si hice todo lo correcto.

Answer 1

Casi: La solución correcta es en realidad $$y(t)=\frac 12e^t\left(t-\frac 12\right)+ce^{-t}$$

Considere la posibilidad de sustituir esta solución en su ecuación diferencial para comprobar que este es, de hecho, una solución.

Cuando he sustituido su "solución" $y(t)=\frac 12 e^t(t-\frac 12)+c$, que terminó siendo $$\frac{dy}{dt}+y=te^t+c.$$ The RHS of the above is not equal to $te^t$.