El diferencial de la ecuación de Laguerre $xy''+(1-x)y'+ay=0, a \in \mathbb{R}$ es dado.
- Demostrar que la ecuación ha $0$ como su singular punto habitual .
Encontrar una solución de la ecuación diferencial de la forma $x^m \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n (x>0) (m \in \mathbb{R})$
Mostrar que si $a=n$ donde$n \in \mathbb{N}$, entonces existe un polinomio solución de grado $n$.
- Deje $L_n$ el polinomio $L_n(x)=e^x \frac{d^n}{dx^n} (x^n \cdot e^{-x})$ (demostrar que es un polinomio), $n=1,2,3, \dots$. Mostrar que $L_n$ satisface la ecuación de Laguerre si $a=n(n=1,2, \dots)$.
Eso es lo que he intentado:
- Para $x \neq 0$ la ecuación diferencial puede escribirse como: $y''+ \frac{1-x}{x}y'+ \frac{a}{x}y=0$. $p(x)= \frac{1-x}{x}, q(x)= \frac{a}{x}$ Las funciones de $x \cdot p(x)= 1-x, \ x^2q(x)=ax$ puede ser escrito como la potencia de la serie en una región de $0$. Por lo tanto, $0$ es un singular punto habitual.
- Supongamos que existe una solución de la forma $y(x)=x^m \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n= \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+m}$. A continuación, $y'(x)= \sum_{n=0}^{\infty} a_n(n+m) x^{n+m-1} \Rightarrow -xy'(x)= \sum_{n=0}^{\infty} -a_n(n+m) x^{n+m}$ $y''(x)= \sum_{n=0}^{\infty} a_n(n+m)(n+m-1) x^{n+m-2} \Rightarrow xy''(x)= \sum_{n=0}^{\infty} a_n(n+m)(n+m-1) x^{n+m-1}$
Así tenemos $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (n+m)(n+m-1) x^{n+m-1}+ \sum_{n=0}^{\infty} a_n (n+m) x^{n+m-1} + \sum_{n=1}^{\infty} -a_{n-1} (n+m-1) x^{n+m-1}+ \sum_{n=1}^{\infty} a a_{n-1} x^{n+m-1}=0 \\ \Rightarrow a_0 m (m-1) x^{m-1}+ a_0 m x^{m-1}+ \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n (n+m) (n+m-1)+ a_n(n+m)-a_{n-1}(n+m-1)+ a a_{n-1} \right] x^{n+m-1}=0$$
Tiene que llevar a cabo:
$$a_0 m^2=0 \overset{a_0 \neq 0}{ \Rightarrow } m=0$$
$$a_n (n+m) (n+m-1)+ a_n (n+m)- a_{n-1} (n+m-1)+ a a_{n-1}=0$$
Para $m=0$: $a_{n} n (n-1)+ a_n n-a_{n-1} (n-1)+ a a_{n-1}=0 \Rightarrow a_n n^2+ a_{n-1} (a-n+1)=0 \Rightarrow a_n=- \frac{a_{n-1}(a-n+1)}{n^2}$
Para $n=1: \ a_1=-aa_0$
Para $n=2: \ a_2= \frac{aa_0(a-1)}{2^2} $
Para $n=3: \ a_3=- \frac{aa_0(a-1) (a-2)}{2^2 3^2} $
Para $n=4: \ a_4= \frac{aa_0(a-1)(a-2)(a-3)}{2^2 3^2 4^2} $
Para $n=5: \ a_5= -\frac{aa_0(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)}{2^2 3^2 4^2 5^2} $
Vemos que $a_n=(-1)^n a_0 \frac{\prod_{i=0}^{n-1} (a-i)}{\prod_{i=2}^n i^2}$
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=(-1) \frac{a-n}{(n+1)^2} \to 0$$
Así que la serie $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ converge y su radio de convergencia es igual a $+\infty$.
Es correcto hasta el momento? Me podría dar una pista de lo que podemos hacer en el fin de responder a las otras dos preguntas?
EDITAR:
¿Podemos diferenciar el Leguerre polinomio de la siguiente manera? $$$$ $$\frac{d}{dx} L_n(x)=e^x \frac{d^n}{dx^n} (x^n e^{-x})+\frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}(x^n e^{-x})$$
$$\frac{d^2}{dx^2} L_n(x)=e^x \frac{d^n}{dx^n} (x^n e^{-x})+ e^{x} \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}(x^n e^{-x})+\frac{d^{n+2}}{dx^{n+2}}(x^n e^{-x})$$
EDIT: la Sustitución de la anterior, no podemos demostrar que la $L_n$ satisface la ecuación de Laguerre si $a=n$.
¿Tal vez saben de qué otra manera podemos mostrar esto?
