Tengo que estudiar los elementos principales del anillo de $ \mathbb{Z} \! \left[ \dfrac{i \sqrt{3} - 1}{2} \right] $. Por el momento, no puedo encontrar la forma general de este tipo de elementos. Me pueden ayudar?
Gracias! :)
Respuestas
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Hay dos colecciones de números primos en este anillo:
$$ p, pj, \mbox{ y } pj^2 $$ donde $p \in \Bbb{Z^+}$ es un primo de la forma $3k+2$, y $$ a + bj $$ donde $a, b \in \Bbb{Z^+}$ $a^2 -ab + b^2$ es un primo de la forma $3k+2$.
Todos estos números son primos y esos son los únicos números primos. Creo que Euler demostró que esta primera.
David R.
Puntos
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Estos son los Eisenstein de los números primos, y es más común el uso de la notación $\mathbb{Z}[\omega]$ donde $$\omega = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 + \sqrt{-3}}{2}.$$ (Este es un número especial por razones que puede parecer un pozo de re-entrada de tu pregunta).
De acuerdo a MathWorld, http://mathworld.wolfram.com/EisensteinPrime.html hay tres clases de Eisenstein de los números primos:
- $1 - \omega$ todo por sí mismo, aparentemente
- Un positivo primer $p \in \mathbb{Z}$ que también satisface $p \equiv 2 \mod 3$ es también el primer en $\mathbb{Z}[\omega]$. (Si en lugar de $p \equiv 1 \mod 3$, se puede dividir por Eisenstein enteros de menor normas; por ejemplo, tratar de factoring $7$ o $13$).
- Un número de la forma $a + b \omega$ o $a + b \omega^2$ tal que $a^2 - ab + b^2 = p \equiv 1 \mod 3$ es un positivo primer $p \in \mathbb{Z}$; por lo tanto, que el primer número es en realidad compuesto en $\mathbb{Z}[\omega]$ y uno de sus factores es $a + b \omega$ o $a + b \omega^2$ (que es lo que yo quería hacer con mi anterior entre paréntesis).
Si usted tiene Mathematica, recomiendo ir a http://mathworld.wolfram.com/EisensteinInteger.html y la descarga de ese cuaderno de Mathematica para jugar con estos números un poco. Si usted no tiene Mathematica, trate de factoring algunos pequeños enteros positivos en $\mathbb{Z}[\omega]$, por ejemplo,, 19, 23, 27, 29, 31, etc.
