Deje $x$ tiene dimensiones de la $[L]$ de longitud, por lo que el $dx$ también tiene dimensión $[L]$. Entonces $$\frac{d(x^n)}{dx}\;\text{has dimension}\;\frac{[L]^n}{[L]}=[L]^{n-1}.$$ Therefore $$\frac{d}{dx}x^n=cx^{n-1}$$ for some (dimensionless) constant $c$.
Haciendo caso omiso del hecho de que $c$ es indeterminado (bonus: ¿alguien puede derivar mediante el análisis dimensional?), Me pregunto: es esto una prueba válida?
No es una prueba, debido al hecho de que no aporta información acerca de la $c$, la única cosa que podemos decir es que
$$ \frac{d}{dx} x^n = c(x) x^{n-1} $$
por la unidad de análisis [un ejemplo es $c(x) = \sin( x/L)$ donde $L$ tiene unidades de longitud]. En esta forma no tenemos idea de lo $c(x)$ debe ser, y realmente no se puede decir nada acerca de la función.
Edit: tenga en cuenta que $c(x)$ es la unidad menor.
Supongamos que una función de $f$ tiene la propiedad de que $f(\alpha x)=\alpha^n f(x)$ todos los $\alpha$. A continuación, $f(x)=cx^n$ para algunas constantes $c$.
Ahora tome una parcela de la gráfica de $y=x^n$ y la escala por un factor de $\alpha$ en la dirección horizontal y en un factor de $\alpha^n$ en la dirección vertical. La anterior propiedad significa que terminan con el mismo gráfico con el que comenzó.
Ahora imagine una línea tangente dibujada en el gráfico en el punto de $(x,x^n)$. Gráficos de escalado no cambia el hecho de que una línea tangente es una tangente. De modo que la tangente se convierte en la tangente en el $(\alpha x,\alpha^nx^n)$.
Pero ¿qué sucede con la pendiente de una línea si la escala de un gráfico? Si la escala por $\alpha$ horizontal y $\beta$ verticalmente el gradiente es escalado por $\beta/\alpha$. Por lo que el gradiente es escalado por $\alpha^{n-1}$ en este caso.
En otras palabras, la pendiente en $(\alpha x, \alpha^nx)$ es el mismo que el gradiente en $(x, x^n)$ escala por $\alpha^{n-1}$.
Por lo que el gradiente de $f$, $f'$, tiene la propiedad de que $f'(\alpha x)=\alpha^{n-1}f'(x)$.
Por lo $f'(x)=cx^{n-1}$.
Pero, ¿qué tiene que ver esto con lo que usted dijo? Dimensión argumentos son argumentos acerca de la escala en el disfraz. Usted puede ver esto si usted se imagina, trazando un gráfico de alguna cantidad física el uso de algunas unidades de las escalas. Si cambia a diferentes unidades de el gráfico se ajusta. Pero fundamentalmente, el cambio de unidades en realidad no cambia nada, y este hecho significa que al aumentar la escala de la gráfica hay todavía va a ser características que permanecen invariables. Describiendo esto en todos los casos se requieren más espacio que el que tengo aquí, pero el argumento anterior es un ejemplo específico.
Aquí matemática (pero de alto nivel y difícil) discusión de este tema por Terry Tao: https://terrytao.wordpress.com/2012/12/29/a-mathematical-formalisation-of-dimensional-analysis/
En otras palabras, el argumento es válido, pero sólo si previamente se ha demostrado las propiedades que se necesitan de análisis dimensional.
No es válido, por las razones que TylerHG y Javier Badia ya se mencionó en sus comentarios. Por ejemplo, podríamos usar su razonamiento para decir que si $v$ tiene dimensión $L$, e $c$ es de algunas constantes físicas también con la dimensión de $L$, $\frac{d(\sqrt{c^2-v^2})}{dv}$ no tiene dimensión y, por tanto, es una constante. El problema es que el análisis dimensional es meramente heurístico y no tomar las constantes en cuenta. Por otra parte, se descarta la información acerca de la función, por lo que su argumento da la respuesta correcta sólo para $x^n$. Para que no piense que este tipo de función es artificial, es, de hecho, aparece en relativitistic fórmulas si $c$ es, por supuesto, la velocidad de la luz.
[Edit: Como se pide, voy a tratar de especificar con más precisión lo que está mal con el argumento y lo que se necesita para hacer lo correcto.]
Una objeción a la mencionada contra-ejemplo podría ser que tiene más de una variable o constante. Pero aún hay otro problema con el argumento, que es que no hay ninguna razón a priori para suponer que $x^n$ es físicamente significativa al $x$ tiene alguna dimensión $L$, e ${L}$ no es un conjunto dependiente ($x$ no es adimensional). Tanto bajo estos supuestos, la única posible físicamente significativa adimensional funciones de $x$ son la constante adimensional funciones, y por lo tanto el único posible físicamente significativa de las funciones de $x$ que han dimensión $L^k$ son de la forma $cx^k$ para algunas constantes $c$. Para esto se aplican a la pregunta original, usted tiene que justificar por qué crees que $x^n$ es físicamente significativa para cada una de las $n$, de lo contrario no es una prueba válida.
En caso de que uno podría pensar que las suposiciones mencionadas anteriormente son, obviamente, los válidos, uno debe considerar la posibilidad de decir $x^\pi$ o $x^{1000}$. Son realmente físicamente significativa? Si no, ¿cómo se puede usar unidades físicas para argumentar nada sobre el comportamiento de las funciones matemáticas? Si uno piensa que el resultado debe simplemente mantenga por cualquier $n$, ya que mantiene por algunos como $1,2,3$, entonces ya es una falacia. Y aún si se sostiene para todos racional $n$, aún no hay razón para pensar que el que tiene de irracional $n$. Todas estas propiedades, debido a la matemática de la naturaleza de tales funciones, no físico.
Considerar la definición formal de la derivada:
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$
Supongo que se podría aplicar el análisis dimensional en virtud de esta operación. A continuación,
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{c_1 \operatorname{dim}(f(x+h)) - c_1\operatorname{dim}(f(x))}{c_2 \operatorname{dim}(h)}.$$
Dimensionalmente hablando, la relación $x\propto \mathcal{U} \implies x = ku$ mantiene para cada constante $k$. Por lo tanto, se podría utilizar esta definición para demostrar que la derivada es cualquier relación que deseo: $\frac{c_1}{c_2}$. Esto es absurdo.
La razón de esta falla es porque dimensionalidad debe ser finito y distinto de cero. Cero libras es igual a cero metros, cero es igual a cero; es una dimensionalmente-el aniquilamiento de la cantidad. $dx$ no tienen la dimensionalidad $\mathcal{L}$, ya que el $dx$, dependiendo de cómo nos tratan, es menor que cualquier cantidad finita. Como tal, no podemos utilizar su dimensión, en un argumento; no es cero, pero no podemos decir que lo es. Por lo tanto, no podemos dimensionalmente se derivan de cálculo utilizando estos arugments; además, el cálculo debe mantener incluso en el caso de cantidades adimensionales!
Dado
$$ \frac{d}{dx} x^n = c x^{n-1}. $$
Escribo esto como
$$ \frac{d}{dx} x^p = c(p) x^{p-1}, $$
así
$$ \frac{d}{dx} x^{p+q} = c(p+q) x^{p+q-1}. $$
Pero
$$ \frac{d}{dx} x^{p+q} = \Big( \frac{d}{dx} x^p \Big) x^p + x^p \Big( \frac{d}{dx} x^q \Big) = \Big( c(p) + c(q) \Big) x^{p+q-1}, $$
por lo tanto
$$ c(p+q) = c(p) + c(q), $$
así obtenemos
$$ c(p) = c(1) p. $$
También tenemos
$$ \frac{dx}{dx} = 1, $$
así
$$ c(1) x^0 = 1, $$
de dónde
$$ c(1) = 1. $$
Por lo tanto
$$ c(p) = p, $$
y obtenemos
$$ \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}. $$
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