El flujo de Ricci y $\frac{\partial}{\partial t}g_{ij}=-2(R_{ij}+\nabla_i \nabla_j f)$ son equivalentes a diffeomorphism

Question

Supongamos $M$ es un colector de Riemann. Considere el flujo de $\frac{\partial}{\partial t}g_{ij}=-2(R_{ij}+\nabla_i \nabla_j f)$ donde $f$ es dependiente del tiempo de la función. Me gustaría demostrar que fluye de esta forma son equivalentes, hasta diffeomorphism, para el flujo de Ricci $\frac{\partial}{\partial t}g_{ij}=-2R_{ij}$, que es:

Mediante la definición de un parámetro 1-la familia de diffeomorphism $\Psi(t):M\to M$ por

$$\frac{d}{dt}\Psi(t)=\nabla_{g(t)}f(t),$$ $$\Psi(0)=id_M$$

Quiero mostrar que la $\bar{g}(t):=\Psi(t)^*g(t)$ satisfacer $$\frac{\partial}{\partial t}\bar{g}_{ij}=-2 \bar{R}_{ij}.$$

Mi problema es que no sé cómo calcular el $\frac{\partial}{\partial t}\Psi(t)^*g(t)$. Sé que $\frac{\partial}{\partial t}\Psi(t)^* \alpha=\mathcal{L}_{\nabla f} \alpha$ donde $\mathcal{L}$ es Mentira derivados y $\alpha$ es un objeto independiente, pero he enfrentado a un problema al $\alpha$ es un objeto dependiente.

Puede que alguien me apunte en la dirección correcta? Gracias de antemano por tu tiempo.

Answer 1

Usted puede obtener la respuesta correcta mediante la aplicación de la formal Leibniz/producto de la regla de la expresión:

\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial t}\left(\Psi\left(t\right)^{*}g\left(t\right))\right) & = & \frac{\partial\Psi\left(t\right)^{*}}{\partial t}g\left(t\right)+\Psi\left(t\right)^{*}\frac{\partial g\left(t\right)}{\partial t}\\ & = & \Psi^{*}\left(\mathcal{L}_{\nabla f}g\right)-2\Psi^{*}\left(\textrm{Rc}+\nabla\nabla f\right)\\ & = & \Psi^{*}\left(-2\textrm{Rc}\right). \end{eqnarray*}

Este cálculo está escrito en un poco más de detalle en el Capítulo 9.4 de http://maths-people.anu.edu.au/~andrews/libro.pdf.

En cuanto a por qué esta regla es válida: a partir de la definición de la derivada es bastante fácil llegar a $$ \begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial t}\left(\Psi\left(t\right)^{*}g\left(t\right)\right) & = & \lim_{h\to0}\frac{1}{h}\left(\Psi\left(t+h\right)^{*}\left(g\left(t+h\right)-g\left(t\right)\right)+\left(\Psi\left(t+h\right)^{*}-\Psi\left(t\right)^{*}\right)g\left(t\right)\right).\\ & = & \lim_{h\to0}\frac{1}{h}\left(\Psi\left(t+h\right)^{*}\left(g\left(t+h\right)-g\left(t\right)\right)\right)+\left(\frac{\partial}{\partial t}\Psi\left(t\right)^{*}\right)g\left(t\right); \end{eqnarray*} $$

por lo que sigue siendo para demostrar que el límite que nos queda es igual a $\Psi(t)^{*}\left({\partial g}/{\partial t}\right)$; es decir, queremos separar el límite de la "producto" en un "producto" de los límites. Podemos hacer esto porque (vaga explicación entrante), un pequeño cambio en $t$ $\Psi(t)$ sólo mueve los puntos en el colector por una pequeña cantidad, de modo que por la continuidad de $g$ en el espacio y en el tiempo continuo y la diferenciabilidad de $\Psi(t)$ en el espacio no sólo será un pequeño cambio en el $\Psi(t)^* g(t)$.