En casi todas partes pointwise límite de funciones medibles medibles?

Question

Estoy teniendo dificultades en la verificación de un comentario en Raymond Ryan, el tratamiento de la Integral de Bochner.

$\bf{\text{Remark:}}$ Si $\mu$ $\sigma$- finito, y $(f_{n})_{n=1}^{\infty}$ es una secuencia de $\mu$medible de funciones que converge a $f$ casi en todas partes, $f$ $\mu$- medible.

$\bf{\text{Edit:}}$ En este punto actualmente estoy buscando una respuesta con autoridad sobre lo que la hipótesis de esta observación debe ser, teniendo en cuenta los comentarios de abajo.

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$\bf{\text{Background:}}$

Deje $(\Omega,\Sigma,\mu)$ $\sigma$- finito medir el espacio, y $X$ ser un espacio de Banach.

Una función de $f:\Omega\to X$ es simple, si se asume que sólo un número finito de valores. Es decir, existe subconjuntos $E_{1}, ... , E_{n}$ $\Omega$ y escalares $x_{1}, ... , x_{n}\in X$ tal que $f = \sum_{i=1}^{n}\chi_{E_{i}}x_{i}$.

Si los conjuntos de $E_{i}$ puede ser elegido de$\Sigma$, $f$ $\mu$medible de simple.

Una función de $f:\Omega\to X$ $\mu$- medible si es el límite de una secuencia de $\mu$medible de funciones simples (casi en todas partes).

Una función de $f:\Omega\to X$ $\mu$- esencialmente por separado valorado si existe $E\in \Sigma$ tal que $\mu(\Omega\backslash E) = 0$ $f(E)\subset Y$ para algunos separables subespacio $Y$$X$.

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Estos son los inmediatamente anteriores resultados (que puede o puede no ser útil).

$\bf{\text{Lemma:}}$ Deje $\mu$ $\sigma$- finito. $f:\Omega\to X$ $\mu$- medible si y sólo si $\chi_{E}f$ $\mu$- medible para cada $E\in \Sigma$, $\mu(E) < \infty$.

Prueba (a Mi pregunta anterior): Hecho sobre medibles funciones definidas en $\sigma$-finito medir los espacios.

$\bf{\text{(Pettis Measurability Theorem)}}$ Deje $\mu$ $\sigma$- finito medida. Los siguientes son equivalentes para $f:\Omega\to X$.

(i) $f$ $\mu$- medible.

(ii) $f$ es débilmente $\mu$medible y $\mu$-esencialmente por separado valorados.

(iii) $f$ es Borel medible y $\mu$-esencialmente por separado valorados.

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Lo siento por no haber mucho de empezar. Mis ideas consistió en intentar adaptar la solución que se dio como respuesta a mi pregunta anterior: el Hecho sobre medibles funciones definidas en $\sigma$-finito medir los espacios. pero, lamentablemente, no llegó a ninguna parte. Estoy buscando una sugerencia no una solución completa, si es posible.

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$\bf{\text{Regarding My Issues Below:}}$

En Norberto de la prueba:

Caso (1): Las funciones de $f_{n}$ cada $\mu$medible simple como que puede ser escrito como $f_{n} = \chi_{\phi}$$\phi\in\Sigma$. Desde $f_{n}\to\chi_{F}$ en cada punto fuera de $F$, entonces, por definición, $\chi_{F}$ $\mu$- medible. Así que no creo que una contradicción existe aquí.

Caso (2): Antes de integridad se invoca, tenemos que desde $f_{n}$ $\mu$medible, $x^{*}\circ f_{n}$ $\mu$medible de escalar con valores de la función en $E$ por cada $x^{*}\in X^{*}$. Por lo tanto se concluye que el $x^{*}\circ f$ $\mu$medible de escalar con valores de la función en $E$ por cada $x^{*}\in X^{*}$. No puedo manejar para probar los detalles en este último paso, ya que parece realmente requieren la observación de lo que es ser demostrado?

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$\bf{\text{Follow Up:}}$ Creo que he encontrado el corazón de la cuestión, que he publicado como una cuestión separada: Contradicción logra con la Pettis Mensurabilidad Teorema?

Answer 1

Deje $X$ ser un espacio de Banach y $(\Omega,\Sigma,\mu)$ ser una medida en el espacio. Por $L_0(\Omega,\mu, X)$ se denota el espacio lineal de $X$valores de funciones medibles.

1) Esta es incorrecto contraejemplo, porque anotherr definición de medición se debe ne utilizado. Si $(\Omega,\Sigma,\mu)$ no incluye el resultado no es cierto. De hecho, la medida no es completa tenemos $E\in\Sigma$ $F\subset E$ tal que $F\notin \Sigma$$\mu(E)=0$. Deje $f_n(\omega)=0$ todos los $\omega\in\Omega$$n\in\mathbb{N}$,$f_n\to\chi_F$.e, $\{f_n:n\in\mathbb{N}\}\subset L_0(\Omega,\mu,\mathbb{C})$ pero $\chi_F\notin L_0(\Omega,\mu,\mathbb{C})$.

2) Si $(\Omega,\Sigma,\mu)$ es completa utilizamos Pettis mensurabilidad teorema. Por supuesto, tenemos $E\in\Sigma$ tal que $f(\omega)=\lim\limits_{n\to\infty} f_n(\omega)$ todos los $\omega\in E$$\mu(\Omega\setminus E)=0$. Tomar arbitraria $x^*\in X^*$, entonces para todos los $\omega\in E$ tenemos $x^*(f(\omega))=\lim\limits_{n\to\infty} x^*(f_n(\omega))$. Desde $f_n\in L_0(\Omega,\mu,X)$, luego por Pettis measrability teorema $x^*\circ f_n$ es escalar con valores medibles de la función. Desde $x^*\circ f$ es el límite en $E$ mensurables escalar de funciones con valores de $x^*\circ f_n$, $x^*\circ f$ es escalar con valores medibles en $E$ función. Desde $\mu(\Omega\setminus E)=0$ y la medida es completa, a continuación, $x^*\circ f$ es escalar con valores medibles en $\Omega$. Desde $x^*$ es arbitrario $f$ es débilmente $\mu$-medible.

Desde $f_n\in L_0(\Omega,\mu,X)$, luego por Pettis mensurabilidad teorema $f_n$ se valoran separadamente, es decir, existen contables $S_n\subset X$, $E_n\in \Sigma$ tal que $f_n(E_n)\subset \operatorname{cl}(S_n)$$\mu(\Omega\setminus E_n)=0$. Definir $E_0=(\bigcap E_n)\cap E\in \Sigma$,$\mu(\Omega\setminus E_0)=0$. Considerar contables set $S=\bigcup_{n\in\mathbb{N}} S_n$, luego $f_n(E_0)\subset \operatorname{cl}(S_n)\subset \operatorname{cl}(S)$ $\bigcup_{n\in\mathbb{N}} f_n(E_0)\subset \operatorname{cl}(S)$ . Recuerdan $f(\omega)=\lim\limits_{n\to\infty} f_n(\omega)$ todos los $\omega\in E$. Desde $E_0\subset E$ llegamos a la conclusión de que cada punto en $f(E_0)$ es el límite de alguna secuencia en $\bigcup_{n\in\mathbb{N}} f_n(E_0)$. En otras palabras $f(E_0)\subset \operatorname{cl}(\bigcup_{n\in\mathbb{N}} f_n(E_0))$. Ahora tenemos $f(E_0)\subset \operatorname{cl}(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}f_n(E_0))\subset$$\subset \operatorname{cl}(\operatorname{cl}(S))=\operatorname{cl}(S)$. Desde $S$ es contable, $f(E_0)$ es separable. Desde $\mu(\Omega\setminus E_0)=0$, $f$ se valoran separadamente.

Desde $f$ es débilmente medibles y separadamente valorados por Pettis mensurabilidad teorema es $\mu$ medibles, es decir,$f\in L_0(\Omega,\mu,X)$.