Estoy teniendo dificultades en la verificación de un comentario en Raymond Ryan, el tratamiento de la Integral de Bochner.
$\bf{\text{Remark:}}$ Si $\mu$ $\sigma$- finito, y $(f_{n})_{n=1}^{\infty}$ es una secuencia de $\mu$medible de funciones que converge a $f$ casi en todas partes, $f$ $\mu$- medible.
$\bf{\text{Edit:}}$ En este punto actualmente estoy buscando una respuesta con autoridad sobre lo que la hipótesis de esta observación debe ser, teniendo en cuenta los comentarios de abajo.
$\bf{\text{Background:}}$
Deje $(\Omega,\Sigma,\mu)$ $\sigma$- finito medir el espacio, y $X$ ser un espacio de Banach.
Una función de $f:\Omega\to X$ es simple, si se asume que sólo un número finito de valores. Es decir, existe subconjuntos $E_{1}, ... , E_{n}$ $\Omega$ y escalares $x_{1}, ... , x_{n}\in X$ tal que $f = \sum_{i=1}^{n}\chi_{E_{i}}x_{i}$.
Si los conjuntos de $E_{i}$ puede ser elegido de$\Sigma$, $f$ $\mu$medible de simple.
Una función de $f:\Omega\to X$ $\mu$- medible si es el límite de una secuencia de $\mu$medible de funciones simples (casi en todas partes).
Una función de $f:\Omega\to X$ $\mu$- esencialmente por separado valorado si existe $E\in \Sigma$ tal que $\mu(\Omega\backslash E) = 0$ $f(E)\subset Y$ para algunos separables subespacio $Y$$X$.
Estos son los inmediatamente anteriores resultados (que puede o puede no ser útil).
$\bf{\text{Lemma:}}$ Deje $\mu$ $\sigma$- finito. $f:\Omega\to X$ $\mu$- medible si y sólo si $\chi_{E}f$ $\mu$- medible para cada $E\in \Sigma$, $\mu(E) < \infty$.
Prueba (a Mi pregunta anterior): Hecho sobre medibles funciones definidas en $\sigma$-finito medir los espacios.
$\bf{\text{(Pettis Measurability Theorem)}}$ Deje $\mu$ $\sigma$- finito medida. Los siguientes son equivalentes para $f:\Omega\to X$.
(i) $f$ $\mu$- medible.
(ii) $f$ es débilmente $\mu$medible y $\mu$-esencialmente por separado valorados.
(iii) $f$ es Borel medible y $\mu$-esencialmente por separado valorados.
Lo siento por no haber mucho de empezar. Mis ideas consistió en intentar adaptar la solución que se dio como respuesta a mi pregunta anterior: el Hecho sobre medibles funciones definidas en $\sigma$-finito medir los espacios. pero, lamentablemente, no llegó a ninguna parte. Estoy buscando una sugerencia no una solución completa, si es posible.
$\bf{\text{Regarding My Issues Below:}}$
En Norberto de la prueba:
Caso (1): Las funciones de $f_{n}$ cada $\mu$medible simple como que puede ser escrito como $f_{n} = \chi_{\phi}$$\phi\in\Sigma$. Desde $f_{n}\to\chi_{F}$ en cada punto fuera de $F$, entonces, por definición, $\chi_{F}$ $\mu$- medible. Así que no creo que una contradicción existe aquí.
Caso (2): Antes de integridad se invoca, tenemos que desde $f_{n}$ $\mu$medible, $x^{*}\circ f_{n}$ $\mu$medible de escalar con valores de la función en $E$ por cada $x^{*}\in X^{*}$. Por lo tanto se concluye que el $x^{*}\circ f$ $\mu$medible de escalar con valores de la función en $E$ por cada $x^{*}\in X^{*}$. No puedo manejar para probar los detalles en este último paso, ya que parece realmente requieren la observación de lo que es ser demostrado?
$\bf{\text{Follow Up:}}$ Creo que he encontrado el corazón de la cuestión, que he publicado como una cuestión separada: Contradicción logra con la Pettis Mensurabilidad Teorema?
