Bueno, aquí quiero dar sólo una intuición no toda la prueba y las nociones abstractas (convolución productos se definen en álgebra abstracta), así que es una buena manera de empezar con transformada de Fourier. Vamos a empezar con este teorema
$\hat{f}.\hat{g}=\mathcal{F}[\frac{1}{2\pi}f*g]$
donde $\hat{f}$ $\hat{g}$ son la transformada de Fourier de las funciones de $f$ $g$ respectivamente y $\mathcal{F}$ es la transformada de Fourier símbolo.
$\hat{f}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{i\omega x}dx$
$\hat{g}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}g(x)e^{i\omega x}dx$
Sólo queremos saber ", Donde hizo de convolución fórmula?" Tan sólo tenemos que aceptar la identidad anterior y se extienden a ver qué pasa?
$\hat{f}.\hat{g}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{i\omega x}dx .\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}g(x)e^{i\omega x}dx$
$=\frac{1}{4\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{i\omega x}dx\int_{-\infty}^{\infty}g(x)e^{i\omega x}dx$
Ahora bien, si ampliamos el lado derecho de la primera ecuación mencionada, se obtiene:
$\frac{1}{2\pi}(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}(f*g)e^{i\omega x}dx) = \frac{1}{4\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty}(f*g)e^{i\omega x}dx$
En la igualdad en el plazo $\frac{1}{4\pi^2}$ es omitido de ambos lados y obtenemos:
$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{i\omega x}dx\int_{-\infty}^{\infty}g(x)e^{i\omega x}dx=\int_{-\infty}^{\infty}(f*g)e^{i\omega x}dx$
Ahora podemos preguntar, "¿Cómo podemos tener el producto de dos diferentes integrales en sólo una integral?" (Tenga en cuenta que la aceptación de la convolución y los teoremas de la transformada de Fourier tenemos aquí!).
Vamos a hacer más fácil la escritura de $\int_{\Omega}\phi d\mu(x) \int_{\Omega}\psi d\mu(x)$ y cómo podemos hacer en una integral. Sabemos de análisis real que podemos escribir la integral como:
$\int \phi d\mu = \sum_{1}^{n}a_j\mu(E_j)$ $\int \psi d\mu = \sum_{1}^{n}b_j\mu(E_j)$
donde $E_j$ son primarias de los conjuntos de dominio. Para facilitar la manipulación (esto es sólo una intuición, no una prueba de ello!) suponemos que para todos los $E_j$ tenemos $\phi(E_j)=a_j$ $\psi(E_j)=b_j$ y con la suposición de que $\mu(E_j)=\mu(E_i)=1$ todos los $i$ y $j$ ($\mu$ esta es la medida de los conjuntos de $E_j$), entonces podemos escribir
$\int \phi d\mu\int \psi d\mu = \sum_{1}^{n}a_j\mu(E_j)\sum_{1}^{n}b_j\mu(E_j)=$
$(a_1+a_2+\dots+a_n)(b_1+b_2+\dots+b_n)=$
$a_1(b_1+b_2+\dots+b_n)+a_2(b_1+b_2+\dots+b_n)+\dots+a_n(b_1+b_2+\dots+b_n)$
Durante el primer período de $a_1(b_1+b_2+\dots+b_n)$, podemos ver que $a_1$ se multiplica en todos los valores de la función $g$ y este proceso se repite para los otros términos. Esto es como la traducción de la función $f$ (calcular sus valores en $E_j$s) y luego se multiplica por la función de $g$ después de la suma de ellos (integrar la función de $f(x-t)g(x)$ sobre el dominio de traducción).
Ahora podemos entender el significado de la convolución: es una manera de tomar el producto de las dos integrales sólo en una integral, y para hacer eso, usted necesita traducir una función (como $f$) y luego multiplicarlo por el otro ($g$) y, a continuación, la suma de las multiplicaciones (integrar).
Cualquier comentario útil para completar la respuesta es muy apreciada.
