Gelfand transformar es una isometría

Question

Estoy teniendo un poco de problemas, mostrando que la Gelfand transformar $A \rightarrow C(\operatorname{sp}(A))$ es isométrica iff $\|x^2\| = \|x\|^2$ general unital conmutativa álgebra de Banach. Para un $C^*$ álgebra, donde sabemos que $xx^*$ es cerrado en $A$, a continuación, esta tarea es sencilla, sin embargo no puedo ver una manera de mostrar esto por un álgebra de Banach.

Podría alguien por favor darme un empujón en la dirección correcta?

Para su referencia, la $C^*$ álgebra prueba, conozco basa en el uso de $y = xx^*$ a mostrar algo a lo largo de las líneas de $\|\hat{x}\|^2 = \|\hat{x}\hat{x}^*\| = \|x\hat{x}^*\| =\|\hat{y}\| = \|y\| = \|xx^*\| = \|x^2\|$.

Answer 1

Ah, es una maravilla lo que se aleje de el problema por un minuto puede hacer!

Para todos aquellos interesados, una solución es la siguiente: $$\|\hat{x}^2\| = \|\hat{x}\|^2$$ is always true by the properties of the Gelfand transform, and so if the Gelfand transform is an isometry it must be the case that $\|x\|^2 = \|x^2\|$

Si $\|x^2\| = \|x\|^2$, entonces tenemos que tener en $\|x^{2^n}\| = \|x\|^{2^n}$, mediante la aplicación repetida de este. Como también tenemos $\|x\| = r(x)$ donde $r(x)$ es el radio espectral de $x$. Sin embargo, debido a que el espectro de $\sigma(x)$ debe ser el mismo que el rango de la Gelfand transformación de $x$, también tenemos $r(x) = \|\hat{x}\|$, lo $\|x\| = \|\hat{x}\|$