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Pueden los números reales se denso en los números complejos para algunos topología?

Estoy buscando una topología tales que R es denso en C. Estaba yo pensando que puedo construir un surjective función continua f : RC tal que la imagen de P es R.

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Adam Malter Puntos 96

Hay muchas posibilidades; la siguiente es probablemente el más simple. Tomar la topología indiscreta en $\mathbb{C}$, en el que la única conjuntos de $\mathbb{C}$$\emptyset$. Entonces todo subconjunto no vacío de a $\mathbb{C}$ es densa.

12voto

Tomar un automorphism de $\Bbb C$ más que la identidad o el complejo de la conjugación. Estos existen por el lema de Zorn. La imagen de $\Bbb R$ bajo este automorphism es isomorfo copia de $\Bbb R$ denso en $\Bbb C$.

7voto

La topología de Zariski es un importante "del mundo real" de la topología de tener esta propiedad. En un complejo espacio afín (tal vez no es solo un complejo de línea), la Zarisiki topología la topología de cuyos conjuntos cerrados son los ceros de funciones polinómicas. En la dimensión 1 los conjuntos cerrados en la topología de Zariski son sólo los subconjuntos finitos, junto con el complejo completo de la línea, que de hecho hace que la línea real un subconjunto denso.

El Unitaria truco es un gran ejemplo de un argumento que involucran distintas topologías en algún espacio (en este caso la topología de Zariski y la topología Euclidiana) para demostrar una significativa teorema.

Hay un montón de otras topologías de fabricación de la línea real de una densa subconjunto del plano complejo, pero sólo unos pocos de ellos son interesantes. Algunos ya citado el grueso de la topología. Si usted está interesado en la producción de una gran cantidad de algo artificial ejemplos, tomar cualquier mapa de $f$ desde el plano complejo en un conjunto finito $F$, por lo que la restricción de $f$ a la línea real es también en. El conjunto de preimages a través de $f$ de la poert conjunto de $F$ son los conjuntos cerrados de una topología del plano complejo donde la recta real es densa.

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