$\beta\alpha$ en ideal $I$ para todos los $\alpha\in I$ $\implies$ $\beta$ es algebraicas entero

Question

Esta es mi segunda pregunta es sobre Problema 8.21 en la p.119 de La Teoría de Números Algebraicos por Harry Pollard y Harold G. Diamante (Dover edición); mi primera pregunta ha sido contestada.

Deje $R=\mathcal O_K$ ser el anillo de enteros de una expresión algebraica campo $K=\mathbb Q(\theta)$ algunos $\theta$ algebraicas sobre $\mathbb Q$. Si $I\ne\{0\}$ es un ideal de a $R$ $\beta\in K$ es tal que $\beta\alpha\in I$ todos los $\alpha\in I$, demuestran que, a $\beta\in R$.

Es importante que $K$ $R$ ser tan definido, de lo contrario el resultado no será cierto, como contraejemplos en mi primera pregunta espectáculo. Mediante el estudio de los contraejemplos, supongo que lo que puede ser importante aquí son principalmente generado ideales. El ideal de $I$ no necesita ser director, pero (por el Teorema 8.13 en la p.109 del libro), existe un ideal de a $J\ne\{0\}$ tal que el producto $IJ$ es generado principalmente por una racional entero, es decir, $IJ=(c)$ donde $c\in\mathbb Z$. Sospecho que esto puede ser útil en la solución del problema.

Otro aspecto que puede ser útil es, dado un ideal $I$, el conjunto definido como $I^{-1}=\{\gamma\in K:\gamma\alpha\in R\ \text{for all}\ \alpha\in I\}$. Por lo tanto $\beta\in I^{-1}$ en el problema. Si $J$ es un ideal, $JI^{-1}$ se define como el conjunto de todos finito de sumas de productos de elementos de $J$ e de $I^{-1}$; si $J\subseteq I$ $JI^{-1}$ es un ideal.

He sido desconcertante sobre este problema por un tiempo y agradecería cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

Estamos dado que el $\beta I\subseteq I$. Si $I$ que es lo principal, decir $I=(\iota)$$\iota\ne 0$, $\beta \iota= r\iota$ algunos $r\in R$ y, por tanto,$\beta=r\in R$.

Para cualquier otro distinto de cero ideal $J$, podemos substituir $I$$IJ$: Si $\beta I \subseteq I$ también $\beta IJ\subseteq IJ$. Utilizando el Teorema 8.19 podemos recoger $J$, de modo que $IJ$ es un no-cero principal ideal y se hace.

Answer 2

Se da la inclusión de $\beta I \subset I$, multiplicando ambos lados por el ideal fraccional $I^{-1}$ da $(\beta) \subset \mathcal O_K$, en particular, $\beta \in \mathcal O_K$.

Answer 3

No es necesario discutir con los principales ideales si no quieres. En su lugar, tenga en cuenta que $I$ es finitely generado más de $R$, dicen por $x_1,\ldots,x_n$. A continuación, $\alpha \cdot x_i = \sum_j r_{ij} x_j$ algunos $r_{ij} \in R$ (la asunción), y así la matriz $\bigl( \alpha\delta_{ij} - r_{ij} \bigr)$ annihilates $I$. Thus so does its determinant; since $I \neq 0,$ llegamos a la conclusión de que este determinante es igual a cero.

Este determinante es un monic polinomio con las entradas en $R$, y por lo tanto $\alpha$ satisface una monic polinomio con algebraica de coeficientes enteros, y por lo mismo es un entero algebraico.