Son las soluciones a $1+1/2^s+1/3^s=0$ conocido?

Question

Para $s$ un número complejo, son las soluciones a esta ecuación se conoce?

$$1+1/2^s+1/3^s=0$$

Borwein et alia han estudiado las sumas parciales de la función zeta: Los ceros de las sumas parciales de la de Riemann zeta función y se encontró que las soluciones tienen períodos:

$$\frac{2 i \pi}{\log (2)}$$ and $$\frac{2 i \pi}{\log (3)}$$

but I could not understand or find what the exact solutions are.

These periods are found in the solutions of the somewhat similar:

$$1+1/2^s+1/3^s+1/6^s=0$$

which has the solutions:

$$\left\{6,c_1\in \mathbb{Z}\land \left(s=\frac{2 i \pi c_1}{\log (2)}+\frac{i \pi }{\log (2)}\lor s=\frac{2 i \pi c_1}{\log (3)}+\frac{i \pi }{\log (3)}\right)\right\}$$

Mathematica también conoce las soluciones para: $$1/2^s+1/3^s=0$$

and:

$$\sum _{n=1}^k \frac{1}{\exp (n)^s}=0$$

pero no a la primera ecuación anterior.

Algunos relacionados con el código de Mathematica:

Clear[n, k, s]
Reduce[1/2^s + 1/3^s == 0, s]
Do[Print[{k, 
   Reduce[Total[Table[1/Exp[n]^s, {n, 1, k}]] == 0, s]}], {k, 1, 6}]
Clear[n, k, s]
Do[Print[{k, Reduce[Total[Divisors[k]^s] == 0, s]}], {k, 1, 6}]

Answer 1

Sin pensar siquiera voy a disparar desde la cadera y decir que no explícito cerrado de formas son conocidas.

En primer lugar, el papel que citas no dice, los ceros tienen esos períodos. De hecho, desde los números de $\log 2$ $\log3$ son linealmente independientes sobre $\Bbb Q$, algo con tanto aquellos períodos en que sería denso en una línea. Más bien, los ceros de $1+2^{-s}+3^{-s}$ son los puntos de intersección de la (compleja) las gráficas de las dos funciones de $1+2^{-s}$ $-3^{-s}$ (por ejemplo), lo que facilita la comprobación de complejos períodos de $2\pi i/\log 2$ $2\pi i/\log 3$ respectivamente.

En segundo lugar, $a^s+b^s=0$ tiene dos exponenciales, pero puede ser fácilmente reducido a una exponencial, permitiendo que el plazo $s$ a un ser aislado. La segunda suma que usted cita es sólo un derrumbe de otra expresión con dos expentials, parece tener más exponenciales artificialmente mediante la fórmula de la suma geométrica. También es de destacar que $1+2^{-s}+3^{-s}+6^{-s}$ factores $(1+2^{-s})(1+3^{-s})$, por lo que se reduce a dos casos que involucran sólo a una exponencial.

Por el contrario, la perturbación de un dos-expresión exponencial por una constante no es susceptible a los del tipo anterior de factorización, ni es susceptible de ser cambiado en sólo una exponencial. Si no se conoce simbólico de forma cerrada, medio para la solución de este, o si hay una función especial inventado para este propósito, me imaginaba que iba a ser más ampliamente conocido. (De manera parecida a como la función W de Lambert fue diseñada para tomar en situaciones donde una sola ecuación exponencial ha sido perturbado por una potencia de la incógnita bajo ciertas condiciones).

Answer 2

Intente en wolframalpha 1/2^s+1/3^s=-1 .Que sólo da dos soluciones Extraño