¿Cómo encuentro el modelo de mi báscula?

Question

Aunque $\mathbb{N}$ no puede ser definido por la primera orden significa, que puede ser definido por segundo orden. De todos modos: se puede ser definido, y no hay duda, que resumen la estructura de la $\mathbb{N}$ representa.

En consecuencia $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, y $\mathbb{R}$ puede ser caracterizado de forma inequívoca, incluso como puramente lineal pedidos (sin la adición y la multiplicación).

Hasta el día de hoy no estoy seguro de si (y cómo algunos modelo de algunos de teoría de conjuntos puede ser el único caracteriza. Es, por ejemplo, $V = L$ suficiente para distinguir de forma inequívoca una única y específica de la estructura entre miríadas de posibles modelos de ZF(C) los axiomas?

Answer 1

Reuní a mis comentarios en una respuesta, porque hay más y más de ellos se acumulan en mi cabeza. He añadido un resumen en la parte inferior también.

1. Tenga en cuenta que $\mathbb Q$ es el único contables modelo de DLO, una $\aleph_0$categoría teoría, y $\mathbb R$ es el único Dedekind-finalización de las únicas $\mathbb Q$. Esto significa, entre otras cosas, que se puede "normalizar" algunas modelo. Este modelo canónico, sin embargo, se define dentro de ZFC como una meta-teoría. Es decir, utilizamos ZFC para probar la existencia y unicidad (hasta el isomorfismo) de tales modelos.

   ZFC, por otro lado, es muy, muy lejos de ser completa. Incluso si añadimos $V=L$, e incluso más axiomas de decidir las cosas independiente de $V=L$, esto se va a quedar incompleta, o convertirse en un "feo" (en el sentido de efectivo de las enumeraciones) de la teoría. Con respecto al último comentario, debo añadir que parece menos probable para normalizar un modelo de ZFC cuando su meta-teoría ZFC sí mismo.

2. Dejándonos a extender más fuerte de la lógica, hay un filosófica obstáculo. Queremos normalizar un modelo de ZFC sin la necesidad de un universo de ZFC que existen desde el inicio (de lo contrario tenemos algún tipo de circularidad de la cuestión aquí, véase el punto 6).

   En el caso de la alta-la lógica de orden presuponemos que tenemos una noción de un conjunto. Ya tenemos eso en mente, y hablando de segundo orden (o más) la teoría de lo que empezar parece bastante peculiar para mí, por esta misma razón.

3. El de arriba se ha dicho, Joel Hamkins demostró un teorema de la derivada de una pregunta sobre este sitio, que si tenemos en cuenta cuantificador libre de incrustaciones entre contable modelos de ZFC, entonces el isomorfismo de las clases son bien ordenados en ordertype $\omega+1$

   Por lo tanto, podemos normalizar un modelo al hablar sobre el menor o el último modelo. Si uno debe hacerlo, probablemente debería de tener cuidado con los siguientes puntos:

   1. Hamkins mismo es un defensor de la multiverso enfoque de la teoría de conjuntos, es decir, no hay ningún modelo canónico. En su lugar, hay modelos para la mayoría, si no todos, sea posible, de acuerdo extensión de ZFC.

      Mediante su trabajo para ir en contra de la multiverso enfoque no es muy agradable... :-)

   2. Si observamos de cerca, veremos que las incrustaciones son cuantificador libre, y a pesar de que es algo, no es suficiente para decir que hay un modelo canónico, al menos desde mi punto de vista. Me siento de esa manera porque ZFC se supone para ser fundacional de la teoría, y como tal, esperamos que algunas cuantificado fórmula para pasarse al modelo canónico de cualquier modelo.

4. Volviendo al caso que nos ocupa, no hay trabajo que se realiza en pro de una "Final" L " modelo de ZFC, debe ser un modelo para los grandes cardenales y debe decidir un montón de la independencia de los resultados. Este trabajo aún no está terminado. Tendrá los mismos problemas como la adición de $V=L$ he señalado en mi primer punto no será suficiente para hablar de una verdad canónica del modelo.

5. Si tenemos un canónica modelo de ZFC, entonces lo que hacemos básicamente resuelto todos independencia preguntas. También hemos eliminado la necesidad de forzar (en general) y, posiblemente, gran parte de la teoría de los grandes cardenales.

   Tenga en cuenta que si hay un gran cardenal, a continuación, hay un modelo de ZFC en el universo. Por lo tanto, un canónica modelo de ZFC no puede realmente tener grandes cardenales desde aquellos implicaría que el modelo canónico de la casa de muchos no-canónica de los modelos, y, posiblemente, algunos de los modelos canónicos así... ¿cómo puede ser eso canónica?

6. Tenga en cuenta que todos los modelos canónicos dependen mucho de su universo de ZFC. Especialmente si permitimos que "arbitraria" de las propiedades que deben tomarse. Si no son lo suficientemente grandes cardenales -- todos proyectiva conjuntos de números reales son deteremined; si no, entonces ellos no están determinadas.

   Esto significa que un canónica modelo de ZFC tendría que ser un conjunto en un universo más grande de ZFC. Es el más grande universo en sí mismo un modelo canónico? Que significa que el canónica modelo en sí se sabe acerca de una canónica modelo de ZFC, y que los pequeños canónica modelo ... en algún lugar que acaba de golpear el fundamento bastante duro.

7. Por último, para los profanos en matemáticas no se basa en la teoría de conjuntos. La teoría de conjuntos es una teoría matemática que tiene una rica vida interior de su propio. Tratar de explicar a los ingenieros mecánicos a lo que es el axioma de elección y ellos te miran a uno vacantly con expresiones que van desde el miedo, curiosa, a la incredulidad de que alguien realmente se preocupa por eso.

   Si un laico es lo suficientemente sofisticados como para preguntarme sobre un canónica modelo de ZFC, entonces esto significa que (en general), una de tres cosas:

   1. Esto no es laico, sino más bien alguien que tiene suficiente conocimiento matemático para comprender lo que es un modelo canónico.

   2. Este es alguien que lea en algún lugar sobre el teorema de la incompletitud, o el término "modelo canónico", pero no capta estas ideas en su totalidad y por primera vez me tienes que explicar eso.

   3. Este es alguien que está tratando de mear conjunto de los teóricos de apagado. Estoy triste de decir que me he encontrado varias de estas personas antes.

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Resumen:

Canónica del modelo requiere de un modelo, es decir, un objeto en el universo, para empezar. Esto significa que el universo en sí no puede ser un modelo de ZFC, o podríamos obtener algún tipo de problema.

Además, si un laico puede discutir acerca de la teoría de conjuntos, o modelos canónicos de la teoría de conjuntos, entonces esto no era un laico, para empezar.