Una estimación para $\ln(1+f(x))$ utilizando la expansión de Taylor

Question

Una habilidad crucial para todo analista en ciernes (como yo) es la confianza en la estimación: saber cuándo, dónde y cómo utilizar herramientas como Big-and-little-O para obtener rápidamente límites superiores. Intento esforzarme para mejorar en este aspecto, pero a veces sigo teniendo algunas dudas. He aquí un ejemplo: Necesito determinar si la siguiente serie converge uniformemente

$$ \sum_{n=1}^\infty f_n(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\ln\left(1+\frac{\sin^2(nx)}{n^2}\right)}{n} $$

Estoy bastante seguro de que sí, y mi razonamiento es el siguiente: si $n>1$ , $\sin^2(nx)/n^2<1$ para todos $x\in\Bbb{R}$ por lo que podemos utilizar la serie de Taylor para $\ln(1+z)$ acerca de $z=0$ para obtener lo siguiente:

$$ \left\vert\ln\left(1+\frac{\sin^2(nx)}{n^2}\right)\right\vert\leq\frac{1}{n^2}+\frac{C}{n^4}\tag{$ \puñal $} $$ donde $C$ es una constante independiente de $x$ . Así,

$$ \left|\,f_n(x)\right|\leq\frac{1}{n^3}+\frac{C}{n^5} $$ y puesto que $$ \sum_{n=1}^\infty\left( \frac{1}{n^3}+\frac{1}{n^5}\right)<\infty, $$ la serie converge uniformemente.

Mi pregunta es: ¿es $(\dagger)$ correcto, y ¿tengo la constante en el lugar correcto (o importa)? He utilizado el hecho de que $\ln(1+z)=z+O(z^2)$ para obtener $(\dagger)$ .

Answer 1

En realidad se puede utilizar la estimación más simple, que dice que $$\log(1+x)\leq x$$

Entonces $$\frac{1}{n}\log \left( {1 + \frac{{{{\sin }^2}nx}}{{{n^2}}}} \right) \leqslant \frac{{{{\sin }^2}nx}}{{{n^3}}}\leqslant \frac 1 {n^3}$$

Siempre hay que apuntar primero a lo sencillo.

AÑADE Según su estimación. Primero observa que tu función es siempre positiva y periódica. Además, está acotada. Como tiene varias raíces, sabemos que hay un máximo, y será un máximo "periódico" absoluto. La derivada es $$\frac{{\sin 2nx}}{{n + {n^{ - 1}}{{\sin }^2}nx}}$$ que tiene raíces en (elija $k=0,1$ ) así que $2nx=0,\pi$ . En $\pi/2n$ el máximo es $$\log\left(1+\frac 1 {n^2}\right)\leq\frac 1{n^2}$$

que es sumable.