¿Qué es el casco inyectivo de un anillo polinómico graduado (categoría graduada de módulos)?

Question

Dejemos que $R=K[x]$ sea un anillo graduado habitual (donde $K$ es un campo).

¿Cuál es el casco inyectivo de $R$ ?

Answer 1

Supongo que $X$ está en grado $1$ (en caso contrario, la afirmación sigue siendo cierta, pero si $X$ tiene un grado arbitrario $d\neq 0$ entonces abajo se tiene $K[X,X^{-1}]\text{-grMod}\cong K\text{-Vect}^{\oplus |d|}$ a través de la asignación $M\mapsto M_0\oplus\ldots\oplus M_{|d|-1}$ en lugar de $M\mapsto M_0$ ). La localización $K[X,X^{-1}]$ es naturalmente un módulo graduado sobre $K[X]$ .

Reclamación: $K[X]\to K[X,X^{-1}]$ es un casco inyectivo en $K[X]\text{-grMod}$ .

Prueba: Es similar al caso sin clasificar: Dada una clasificación $K[X]$ -Módulo $M$ , uno tiene $$(\ddagger)\quad\text{Hom}_{K[X]\text{-GrMod}}(M,K[X,X^{-1}])\cong\text{Hom}_{K[X,X^{-1}]\text{-grMod}}(M[X^{-1}],K[X,X^{-1}])\cong\text{Hom}_{K\text{-Vect}}(M[X^{-1}]_0,K),$$ este último isomorfismo ya que $K[X,X^{-1}]\text{-grMod}\cong K\text{-Vect}$ a través de $N\mapsto N_0$ (si $N\in K[X,X^{-1}]\text{-grMod}$ entonces la multiplicación por $X^n$ es un $K$ -isomorfismo entre $N_0$ y $N_{n}$ para todos $n\in{\mathbb Z}$ Así que $N_0\otimes_K K[X,X^{-1}]\to N$ es un isomorfismo; a la inversa, dado un $K$ -espacio vectorial $V$ tenemos $(V\otimes_K K[X,X^{-1}])_0\cong V$ ). El lado derecho en $(\ddagger)$ es exacta en $M$ Así que $K[X,X^{-1}]$ es inyectiva en $K[X,X^{-1}]\text{-grMod}$ . Como $K[X]\rightarrowtail K[X,X^{-1}]$ es esencial, la afirmación sigue.