límite de $\lim\limits_{x \to ∞} \frac {x(x+1)^{x+1}}{(x+2)^{x+2}}$

Question

Hola estoy tratando de encontrar el límite de

$\lim\limits_{x \to ∞} \frac {x(x+1)^{x+1}}{(x+2)^{x+2}}$

He tratado de aplicar la regla de L'H, pero termina siendo realmente complicado.

La respuesta es $\frac {1}{e}$, por lo que supongo que debe simplificar en algo que puedo aplicar el límite estándar de las leyes.

Answer 1

$$\frac{x(x+1)^{x+1}}{(x+2)^{x+2}}=\frac x{x+2}\cdot\left(1-\frac1{x+2}\right)^{x+2}\left(1-\frac1{x+2}\right)^{-1}\xrightarrow[x\to\infty]{}1\cdot\frac1e\cdot1=\frac1e$$

Answer 2

$$\dfrac {x(x+1)^{x+1}}{(x+2)^{x+2}}=\dfrac{(x+1)^{x+2}-(x+1)^{x+1}}{(x+2)^{x+2}}$$ $$\dfrac {x(x+1)^{x+1}}{(x+2)^{x+2}}=\Big(1-\dfrac{1}{x+2}\Big)^{x+2}\Big(\dfrac{x+2}{x+1}\Big)-\Big(1-\dfrac{1}{x+2}\Big)^{x+1}\dfrac{1}{x+2}\to e^{-1}+0$$

Answer 3

[\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x{{\left( {x + 1} \right)}^{x + 1}}}} {{{{\left( {x + 2} \right)}^{x + 2}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{x} {{x + 2}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{x + 1}} {{x + 2}}} \right)^{x + 1}} = 1.\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 - \frac{1} {{x + 2}}} \right)^{x + 1}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left[ {{{\left( {1 - \frac{1} {{x + 2}}} \right)}^{ - \left( {x + 2} \right)}}} \right]^{ - \frac{{x + 1}} {{x + 2}}}} = {\left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{\left( {1 - \frac{1} {{x + 2}}} \right)}^{ - \left( {x + 2} \right)}}} \right]^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } - \frac{{x + 1}} {{x + 2}}}} = {e^{ - 1}} = \frac{1} {e} \hfill \\ \end{reunieron} ]

Answer 4

Empezar con $$\frac{x(x+1)^{x+1}}{(x+2)^{x+2}}=\frac{x}{x+2}\cdot\left(\frac{x+1}{x+2}\right)^{x+1},$$ then note that $$\left(\frac{x+2}{x+1}\right)^{x+1}=\left(1+\frac{1}{x+1}\right)^{x+1}\longrightarrow e.$$

Answer 5

$$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x(x+1)^{x+1}}{(x+2)^{x+2}}=\\\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{(x+1)^{x+1}}{(x+2)^{x+1}}*\frac{x}{x+2}=\\\lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{x+1}{x+2})^{x+1}\frac{x}{x+2}=\\(1-\frac{1}{x+2})^{x+1}* \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x}{x+2}=\\e^{-1}*\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x}{x+2}\\e^{-1}*1\\=\frac{1}{e}$$