Supongamos que $n\in \mathbb N -\{1\}$ $a_{11},a_{12},\ldots,a_{nn}$ $n^2$ distintos números reales, demostrar que hay algunos enumeración de $a_{ij}$'s como $b_{ij}\ (i,j=1,2,\ldots,n)$ de manera tal que,el determinante de la matriz $B=[b_{ij}]$ no es cero!!!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Chris Ballance
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Después de haber visto a su pregunta anterior, aquí hay una respuesta que sigue su línea de razonamiento. La siguiente es la pieza que falta:
Lema. Si la secuencia de $b_1,b_2,\ldots,b_n$ es estrictamente monótona y sus entradas son todas de valor no positivo o todos no negativos, el circulantes matriz $C$ $(b_1,b_2,\ldots,b_n)$ en la primera fila es nonsingular.
Para una prueba del lema anterior, véase, por ejemplo, la proposición 24 p.374 de Irwin Kra y Santiago R. Simanca, En Matrices Circulantes, los Avisos de la AMS, Marzo de 2012 (oficial de enlace).
Ahora, poner todas las entradas de $A$ en una lista, ordenar la lista en orden ascendente y partición de la lista ordenada en $n$ sublistas de longitudes iguales.
Desde todas las entradas de $A$ son distintos los números reales, en más de una sublista contiene entradas de diferentes signos. Si una sublista existe, poner sus entradas (en cualquier orden) en la primera columna de $B$. De lo contrario, acaba de tomar cualquier sublista a voluntad y poner sus entradas en la primera columna.
Nosotros, a continuación, rellene las columnas restantes, uno por uno. Por el lema anterior, el circulantes matriz $C$ generado por cada uno de los restantes clasificados sublista es nonsingular. Por lo tanto, siempre podemos escoger una columna de $C$ que es linealmente independiente con los anteriormente lleno de columnas de a $B$, y que sea la próxima nueva columna de $B$.
