Deje $f\geq 0$ satisfacer $\int_\mathbb{R} f < 1$. Deje $f_n$ $n$ tiempo de convolución de $f$ por sí mismo. A continuación quiero mostrarles $f_n \rightarrow 0$.e. como $n\rightarrow \infty$.
Claramente podemos obtener ese $f_n \rightarrow 0$$L^1(\mathbb{R})$. Pero, ¿cómo probar una.e. la convergencia?
No es un resultado general que dice que un $L^p$ convergencia de la secuencia que tiene una sub-secuencia que converge en casi todas partes. Si usted mira la prueba (o ver más abajo), verás que en realidad tiene para el conjunto de la secuencia,si la convergencia es "suficientemente rápido", para exponencial.
En tu ejemplo, vamos a $\alpha =\| f \|_1 <1$. Desde cada una de las $f_n$ satisface $f_n\geq 0$, podemos aplicar el teorema de convergencia monótona para obtener $$ \int \sum_n f_n \, dx =\sum_n \int f_n \, dx =\sum \|f_n\|\leq \sum \alpha^n <\infty. $$
Pero una función integrable es finito en casi todas partes, por lo que el $\sum f_n <\infty$ en casi todas partes. En particular, $f_n \to 0$ en casi todas partes.
Tenga en cuenta que he usado anteriormente que $\|f_n\|_{L^1}\leq \alpha^n$ en lo que sigue de la norma de cálculo de la convolución en $L^1$.
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