¿Cuántas veces puede un $4^{th}$ grado del polinomio ser igual a un número primo?

Question

Si $f(x)$ $4^{th}$ grado del polinomio con coeficientes enteros, ¿cuál es el mayor conjunto de ${x_1, x_2, x_3, ...x_n}$ (donde $x_i$ son enteros) para que $|f(x_i)|$ es un número primo?

Cosas que he probado:

Traté de ver cómo puedo restringir los coeficientes de $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ dividiendo por $fx+g$. Si esto funciona me podría haber restringido los coeficientes así que esperemos $f(x)$ no es divisible por tales polinomios, pero lo tengo muy complicado, así que no creo que el camino a seguir. Otra cosa que se me ocurrió es que probablemente íbamos a querer este polinomio como $ax^4-bx^3+cx^2-d+e$ , por lo que cuando tenemos $ax^4-bx^3+cx^2-dx+e=-p_i$ , luego por la regla de Descartes de los signos $ax^4-bx^3+cx^2-dx+(e+p_i)=0$ podría tener hasta el $4$ soluciones. No estoy seguro de si el problema dice $x_i$ son enteros, pero yo creo que tiene que ser, porque de lo contrario podríamos garantizar una solución para cada número primo (por lo tanto el conjunto de $x_i$ sería infinitamente grande) si tuviéramos un cambio de signo, es decir, $-ax^4+bx^3+cx^2+dx+(e+p_i)=0$

Answer 1

Es un problema abierto. De hecho, por la del teorema de Dirichlet, lineal polinomial $f(x)=ax+b$ es infinitamente muchos primeros valores, a condición de $(a,b)=1.$ Para todos los otros polinomios de grado $> 1$ no se sabe si existe un polinomio que toma un número infinito de números primos. La conjetura es que, aun $f(x)=x^2+1$ puede tomar un número infinito de primos valores. Si usted se permite ir a otras dimensiones superiores, a continuación, $f(x,y)=x^2+y^2$ todas prime valuse de la forma $4k+1$ por el teorema de Fermat.

Answer 2

Esto es más probable un problema abierto.

Hay dos casos:

• $f$ es reducible en $\mathbb Z[x]$: a Continuación, $f=gh$ para los no-constante polinomios $g,h\in\mathbb Z[x]$. Si $f(x)$ es un número primo, entonces cualquiera de las $g(x)=1$ o $h(x)=1$. $g-1$ no es el polinomio cero, por lo que tiene en la mayoría de las $\deg g$ raíces, por lo $g(x)=1$ en la mayoría de las $\deg g$ muchas $x$. Mismo para $h$, por lo que hay en la mayoría de las $\deg g+\deg h=\deg f$ valores $x\in\mathbb Z$, de tal manera que $|f(x)|$ es primo.

• $f$ es irreductible: El Bunyakovsky conjetura de los estados, que $|f(x)|$ es perfecto para infinidad de $x\in\mathbb Z$ donde $f$ es arbitraria polinomio irreducible. Para $\deg f=1$, este hecho fue demostrado por Dirichlet, por $\deg f=4$, parece ser un caso sin resolver.