Formas de mostrar $\sum_\limits{n=1}^{\infty}\ln(1+1/n)$ ser divergente

Question

Demuestre que la siguiente suma es divergente $$\sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(1+\frac1n\right)$$

He pensado hacerlo mediante series de Taylor utilizando el hecho de que $$ \ln\left(1+\frac1n\right)=\frac1n+O\left(\frac1{n^2}\right) $$ Lo cual deja claro que $$ \sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(1+\frac1n\right)\sim \sum_{n=1}^{\infty}\frac1n\longrightarrow \infty $$ Pero me parece que he complicado demasiado el problema y me interesaría ver otras soluciones. Además, ¿sería la serie taylor la forma en que vería que esto diverge si no se le dijera?

Answer 1

Fíjate en lo siguiente: $$\log\left(1+\frac{1}{n}\right)=\log\left(\frac{n+1}{n}\right)=\log(n+1)-\log(n)$$ Por lo tanto, $$\sum_{k=1}^{n}\log\left(1+\frac{1}{k}\right)=\log(n+1) \to \infty$$

Answer 2

Este es un caso especial de: Supongamos que $f(1)= 0, f'(1) > 0.$ Entonces $\sum f(1+1/n) = \infty.$

Prueba: A partir de la definición de la derivada (no es necesario Taylor), tenemos

$$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}= \frac{f(1+h)}{h} > \frac{f'(1)}{2}$$

para los pequeños $h>0.$ Así,

$$f(1+1/n) > \frac{f'(1)}{2}\cdot\frac{1}{n}$$ para grandes $n.$ Con la prueba de comparación hemos terminado.

Answer 3

Tenga en cuenta que tenemos

$$\begin{align} \log\left(1+\frac1n\right)&=\int_n^{n+1}\frac{1}{t}\,dt\\\\ &\ge\frac1{n+1} \end{align}$$

y la serie armónica diverge.

Pero, supongamos que uno renuncia a esa comparación y en su lugar escribe

$$\begin{align} \sum_{n=1}^{2^N-1}\int_n^{n+1} \frac{1}{t}\,dt&=\int_1^{2^N}\frac{1}{t}\,dt\\\\ &=\int_1^2 \frac{1}{t}\,dt+\int_{2}^{4}\frac{1}{t}\,dt+\dots+\int_{2^{N-1}}^{2^N}\frac{1}{t}\,dt\\\\ &\ge \frac12 (2-1)+\frac14 (4-2)+\dots +\frac{1}{2^N}(2^N-2^{N-1})\\\\ &=\frac{N}{2} \end{align}$$

que va a $\infty$ como $N\to \infty$ . Y ya hemos terminado. .

Answer 4

Aplicando una propiedad de los logaritmos se obtiene la igualdad $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ln(1 + 1/n) = \ln \Bigg( \prod_{n=1}^\infty (1 + 1/n) \Bigg)$ . Por lo tanto, si $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ln(1 + 1/n)$ converge, digamos que a $c \in \mathbb{R}^+$ entonces $\displaystyle \prod_{n=1}^\infty (1 + 1/n)$ debería converger a $e^c$ .

Ahí radica una contradicción: al expandir este producto se obtiene una suma claramente divergente: la expansión incluirá una copia positiva de $1/n$ para todos $n \in \mathbb{N}$ .

Answer 5

$$\sum_{n=1}^{m}\log\left(\frac{n+1}{n}\right)=\sum_{n=1}^{m}(\log(n+1)-\log n)=\log(m+1)$$ Las sumas parciales son claramente divergentes. Alternativamente, utilizando la prueba de condensación de Cauchy, la serie converge si la serie $$\sum_{n=1}^{\infty}2^{n}\ln(1+1/2^{n})$$ converge. La serie transformada diverge ya que los términos no van a cero y por tanto la serie original diverge.