Desigualdad de Cauchy Schwarz para números

Question

El CS de la desigualdad está dada por

$$x_1y_1 + x_2y_2 \leq \sqrt{x_1^2 + x_2^2}\sqrt{y_1^2 + y_2^2}$$

He leído que si $x_1 = cy_1$$x_2 = cy_2$, entonces la igualdad se mantiene.

Pero he reducido el de arriba a $c \leq \sqrt{c^2} = |c|$. Así que no es esto sólo es cierto si $c > 0$?

Answer 1

Suponga $x_1,\dots,y_2$ son números reales. Tenemos $$(x_1^2+x_2^2)(y_1^2+y_2^2)-(x_1y_1+x_2y_2)^2=(x_1y_2-x_2y_1)^2.$$ This is the case $n=2$ de una identidad debido a Lagrange.

(Ver más sobre esto, positiva polinomios, las sumas de cuadrados de polinomios, y de Hilbert 17 de problema, en este viejo post en el blog de la mina.)

Esto significa que $|x_1y_1+x_2y_2|\le\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{y_1^2+y_2^2}$, con igualdad de iff $$\det\left(\begin{array}{cc}x_1&y_1\\ x_2&y_2\end{array}\right)=0,$$ that is, iff either there is a constant $c$ such that $x_1=cy_1$ and $x_2=cy_2$, or else $y_1=y_2=0$.

Desde $a\le|a|$ para cualquier número real $a$, se deduce que el $x_1y_1 + x_2y_2 \leq \sqrt{x_1^2 + x_2^2}\sqrt{y_1^2 + y_2^2}$, con la igualdad como en el anterior, excepto que ahora tenemos más necesidad de $c\ge 0$.

Answer 2

Supongamos $(x_1,x_2)=c(y_1,y_2)$, luego $$ \begin{align} x_1y_1+x_2y_2&=cy_1^2+cy_2^2\\ x_1^2+x_2^2&=c^2y_1^2+c^2y_2^2 \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} x_1y_1+x_2y_2 &=\frac{c}{|c|}\sqrt{x_1^2+x_2^2}\sqrt{y_1^2+y_2^2}\\ &=\pm\sqrt{x_1^2+x_2^2}\sqrt{y_1^2+y_2^2} \end{align} $$ Por lo tanto, la igualdad sólo se cumple para $c\ge0$.

Sin embargo, la desigualdad $$ |x_1y_1+x_2y_2|\le\sqrt{x_1^2+x_2^2}\sqrt{y_1^2+y_2^2} $$ se sostiene, y esta igualdad se tiene si $(x_1,x_2)=c(y_1,y_2)$ cualquier $c$.

Answer 3

$c\le|c|$ ins no se restringe a $c>0$