El método que se utiliza en las notas de la conferencia se basa $\def\KX{K[X]}$en la estructura del teorema de finitely generadas $\KX$-módulos (en general f.g. los módulos a través de un PID) en lugar de puramente algebraicas lineales consideraciones. Lo que el dado de cálculo que muestra es que el $\KX$-módulo, que se define por tener $X$ actuar en $K^4$ por la matriz$~A$, es isomorfo a $\KX/\langle1\rangle\oplus\KX/\langle1\rangle\oplus\KX/\langle X-1\rangle\oplus\KX/\langle(X-2)(X-1)^2\rangle$ (los dos primeros sumandos son triviales y puede ser omitido). El factor final que puede ser descompuesto como $\KX/\langle(X-2)(X-1)^2\rangle\cong\KX/\langle X-2\rangle\oplus\KX/\langle(X-1)^2\rangle$ debido a un teorema para el que todavía estoy preguntando si tiene un nombre en inglés, en francés, es el déjame des noyaux, está relacionado con el teorema del resto Chino, pero no es el mismo es acerca de los módulos en lugar de los anillos).
Así que nuestro $\KX$-módulo es isomorfo a $\KX/\langle X-1\rangle\oplus\KX/\langle(X-1)^2\rangle\oplus\KX/\langle X-2\rangle$, donde me he movido a la parte delantera de los dos factores que contienen vectores propios para el autovalor$~1$. La parte más externa de sumandos son de dimensión$~1$, e $X$ actúa como un escalar $1$ $2$ en cada uno de ellos; en el medio del factor de dimensión$~2$, la acción de la $X$ ha autovalor$~1$ pero no es diagonalisable: es un bloque de Jordan de tamaño$~2$. Así es como uno consigue dos bloques de Jordan de los tamaños de las $1,2$ $\lambda=1$ y un único bloque de Jordan de tamaño$~1$$\lambda=2$.
Voy a añadir una palabra sobre el cálculo inicial que conduce a la diagonal de la forma. El algoritmo que se aplica es el de la informática de la Smith forma normal de la matriz $XI-A$ $\KX$ (que es un PID), el uso de fila y columna de las operaciones con escalares en $\KX$, para llegar a una diagonal de la forma en que las sucesivas diagonal entradas de cada división de la siguiente. No estoy seguro de si tu notas de la conferencia explicar por qué uno debe comenzar con $XI-A$, y por qué el resultado se describe un ciclo de descomposición de la $\KX$-módulo definido por$~A$, así que aquí está. Intermedio matrices de describir una presentación de una $\KX$-módulo como el cociente de la libre módulo de $\KX^n$ donde $n$ es el número de filas, por el sub-módulo de $N$ generado por las columnas de la matriz. Durante el algoritmo, la columna de las operaciones corresponden a cambiar a diferentes generadores de $N$, mientras que la fila de las operaciones corresponden a la elección de una base diferente de $\KX^n$ que la estándar, y el cambio de coordenadas (de los generadores de$~N$) a la nueva base. Al final de la transformación, se llega a una situación en la que todos los generadores de$~N$ (polinomio) múltiplos de la base de $\KX^n$ utiliza, de ahí la diagonal de la forma, y esto describe el módulo como una suma directa de la sub-módulos.
Así que ¿por qué no $XI-A$ describir la $\KX$-módulo de$~M$ definido en $K^n$ por la acción de la$~A$? Debido a que la norma base $(e_1,\ldots,e_n)$ $K^n$ es sin duda un conjunto de generadores para$~M$ (probablemente muy redundante) por lo que tenemos un surjective de morfismos $f:\KX^n\to M$, y la columna de$~j$ $XI-A$ describe $Xe_j-\sum_i A_{i,j}e_i\in\KX^n$ que elemento, dado que el $X$ actúa en $M$$A$, está en el núcleo en $N$ $f$ , por definición, no es difícil ver que estos elementos generan todos los de$~N$, de modo que se dé una presentación completa de$~M$.
Si este método es una manera muy práctica para encontrar una forma normal de Jordan es cuestionable; en mi experiencia en la realización de los Smith forma normal algoritmo sobre $\KX$ es extremadamente tedioso un error propenso a mano. Sin embargo, aparte de la importancia teórica, sin duda, es un algoritmo, aunque creo que los métodos de búsqueda de la forma normal de Jordan por álgebra lineal sólo tienden a ser difíciles de describir como un algoritmo (en la práctica, muchos de los atajos son posibles, pero un método completo que cubre todas las posibilidades es larga para describir). He tratado de describir un algebraicas lineales algoritmo (así como el de arriba) para la algo más grueso Racional Canónica (o Frobenius Normal) en esta respuesta.
