Sé que hay una parametrización de una hyperboloid $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ en términos de$\cosh$$\sinh$, pero no veo cómo estas ecuaciones se derivan. Le agradecería que alguien me explicara cómo un parametrización se deriva o recomendar una referencia.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Esta derivación ha sido realizado por André Nicolas!
La configuración de parámetros de la hipérbola es
$$x(t)=\cosh t$$ $$y(t)=\pm \sinh t$$
Un círculo de radio $r$ es parametrizadas como:
$$x(t)=\cos t$$ $$y(t)=\sin t$$
La rotación de la hipérbola por encima de alrededor de un círculo de radio de $\cosh$ (distancia regular de una hipérbola de eje y):
$$x(u, v)=\cosh v \cos u$$ $$y(u, v)=\cosh v \sin u$$ $$z(u, v)=\sinh v$$
Es fácil obtener imágenes de la hyperboloid de dos maneras - desde la parte de arriba y de lado. Esto me ayudó a entender la derivación.
LePressentiment
Puntos
2053
En virtud de usuario bondesan, aquí una foto:
El $(P_u, P_z)$ podría confundir, así que me gustaría volver a escribir como sigue.
$\color{green}{\text{On the $de los rayos uv$-plane, any hyperbola is given by: } u = \cosh(s) \text{ and } z = c\sinh(s) \, \,\forall -1 \leq s \leq 1}$.
Entonces, por definición de coordenadas polares, $x = (a\cos \theta) \color{green}{u} \text{ and } y = (b\sin \theta) \color{green}{u} \text{ and } \color{green}{z = z}$.
En total, $x = (a\cos \theta) \color{green}{\cosh(s)} \text{ and } y = (b\sin \theta) \color{green}{\cosh(s)} \text{ and } \color{green}{z = c\sinh(s)}$.
