Regla de la cadena de prueba Apostol

Question

Apostol cálculo I página 174-175 tiene la prueba de la regla de la cadena.

Teorema de los estados: sea f la composición de dos funciones u y v, decir $f=u \circ v$. Suponga que tanto los derivados de $v'(x)$$u'(y)$,$y=v(x)$. A continuación, derivado $f'(x)$ también existe y está dado por la fórmula $f'(x)=u'(y).v'(x)$.

Prueba: La diferencia cociente de f es (4.12): $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{u[v(x+h)]-u[v(x)]}{h}$ . Deje $y=v(x)$ y deje $k=v(x+h)-v(x)$. Luego tenemos a $v(x+h)=y+k$ y (4.12) se convierte en (4.13): $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{u(y+k)-u(y)}{h}$ .

Si $k\neq0$,a continuación, multiplicamos y dividimos por k y obtener (4.14): $\frac{u(y+k)-u(y)}{h}\frac{k}{k}=\frac{u(y+k)-u(y)}{k}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}$. Cuando h tiende a 0, el último cociente en derecho se convierte en el $v'(x)$. También, como $h$ va a $0$, $k$ también va a $0$ porque $k=v(x+h)-v(x)$ $v$ es continua en a $x$. Por lo tanto, el primer cociente de la derecha enfoques $u'(y)$ $h$ tiende a cero, y esto demuestra el resultado. $\square$

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Aunque el anterior argumento parece ser la forma más natural de proceder, no es completamente general. Desde $k=v(x+h)-v(x)$, puede suceder que el $k=0$ infinitamente muchos de los valores de $h$ $h$ tiende a cero, en cuyo caso el pasaje de (4.13) (4.14) no es válido.

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Mi duda: Tengo problemas para entender la línea "puede suceder que el $k=0$ infinitamente muchos de los valores de $h$ $h$ tiende a cero" ¿Qué es esta línea tratando de transmitir y por qué es la prueba incorrecta?

Gracias de antemano.

Answer 1

Apóstol tiene en mente funciona como el topologist de la curva sinusoidal $$t(x) = \sin \left( \frac1x \right)$$, Mientras que esta función no es derivable en cero, por lo que no es problemático para la regla de la cadena la prueba, su extraño primo $$f(x) = e^{-\frac1{x^2}} \sin \left( \frac1x \right)$$ is differentiable everywhere (though it is not analytic at $x=0$).

Así que la pregunta es, "¿ la regla de la cadena se aplica si una de las funciones es un extraño función como $f(x)$?"

No es muy práctico preocuparse, pero si usted presenta una "prueba" es siempre mejor que la prueba de ser hermético.

Añadido después

Deje $g(x) = \frac1{x+1}$. Entonces $$(f\circ g)(x) = e^{-(1+x)^2}\sin(1+x) \\\frac{d(f\circ g)(x))}{dx} = e^{-(1+x)^2}\cos(1+x)-2e^{-(1+x)^2}(1+x)\sin(1+x)\\ \left.\frac{d(f\circ g)(x))}{dx}\right|_{x=0} = \frac{\cos(1)-2\sin(1)}{e} \approx -0.42 \neq 0 $$ Pero la aplicación de la regla de la cadena, y observando que la derivada en cero de $f(x)$ es cero,

$$ \left.\frac{df(x)}{dx}\right|_{x=0} = 0 \\ \left.\frac{dg(x)}{dx}\right|_{x=0} = -1 \frac{d(f\circ g)(x))}{dx} = 0\cdot (-1) = 0 $$

Pero la combinación de $f$ $g$ no es un contraejemplo a la regla de la cadena, debido a la regla de la cadena se requiere tomar la derivada de $f$ $g(x)$ $g(0)$ no es cero.

Resulta que las condiciones establecidas en el Apostol de hecho son suficientes, siempre y cuando las funciones son diferenciables, en $g(x)$ $x$ respectivamente, la regla de la cadena obras.

Answer 2

Es un problema común con la prueba de la regla de la cadena en el cálculo de los libros de texto. Es genial que tu libro se menciona sobre el problema al $k=0$. Así, el dado prueba no funciona al $v(x)= x^{2}\sin(1/x)$ $v(0)=0$ y punto de consideración es $x=0$. Usted debe observar que $k=v(h)-v(0)=h^{2}\sin(1/h)$ se desvanece en puntos de $h=1/n\pi$ para todos los que no sean cero enteros $n$. Este tipo de comportamiento es lo que se entiende por la línea "$k=0$ infinitamente muchos de los valores de $h$ $h$ tiende a $0$."

La prueba se administra en su libro es, por tanto, incompleta y debe manejar el caso al $k=0$. Puede ser duro para llamar a la prueba incorrecta, sino que podríamos denominar como parciales o incompletas.

Sin embargo es fácil de salvamento de la prueba al $k$ se desvanece infinitamente muchas veces como $h$ tiende a $0$. La cosa a destacar es que en este caso $v'(x)=0$ y tenemos que mostrar que $f'(x)=0$. Al $k=0$ $f(x+h)-f(x)=0$ e si $k\neq 0$, la proporción de $(f(x+h)-f(x))/h$ puede hacerse arbitrariamente pequeña debido a $v'(x)=0$. Por lo tanto $f'(x)=0$.