$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x} \sin(x)}{x} dx$ Evaluar La Integral

Question

Calcular la siguiente integral:

$$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x} \sin(x)}{x} dx$$

Cualquier sugerencia, sugerencia es bienvenida. Gracias.

Answer 1

Sin embargo, un enfoque diferente: paramétrico de la integración. Vamos $$ F(\lambda)=\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda x} \sin(x)}{x}\,dx,\qquad\lambda>0. $$ Entonces $$ F'(\lambda)=-\int_{0}^{\infty} e^{-\lambda x} \sin(x)\,dx=-\frac{1}{1+\lambda^2}. $$ La integración y teniendo en cuenta que el $\lim_{\lambda\to\infty}F(\lambda)=0$ hemos $$ F(\lambda)=\frac\pi2-\arctan\lambda $$ y $$ \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x} \sin(x)}{x}\,dx=F(1)=\frac\pi4. $$

Answer 2

Utilizando La Transformada De Laplace, $$\mathcal{L}(\sin(x)) = \frac{1}{s^2 + 1}$$ $$\mathcal{L}\left(\frac{\sin(x)}{x}\right) = \int_r^\infty \frac{1}{s^2 + 1} ds = \frac{\pi}{2} - \arctan(r)$$ Por lo tanto, $$\int_0^\infty e^{-rx} \frac{\sin(x)}{x} dx = \frac{\pi}{2} - \arctan(r)$$ Sustituyendo r = 1, $$\int_0^\infty e^{-x} \frac{\sin(x)}{x} dx = \frac{\pi}{4}$$

Answer 3

Otro enfoque: $$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} dx\, \frac{e^{-x} \sin(x)}{x} &=& \int_{0}^{\infty}dx\, \frac{e^{-x}}{x} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!} \\ &=& \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \int_{0}^{\infty}dx\, x^{2k} e^{-x} \\ &=& \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}(2k)! \\ &=& \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1} \hspace{5ex} \textrm{(Leibniz series for %#%#%)}\\ &=& \frac{\pi}{4}. \end{eqnarray*}$$

Answer 4

Escribo esto como $$ \lim_{\epsilon\to0}\int_\epsilon^{1/\epsilon}\frac{e^{-(1-i)x}-e^{-(1+i)x}}{2ix}\,\mathrm{d}x\etiqueta{1} $$ y, a continuación, considere la ruta integral $$ \frac{1}{2}\int_{\gamma_\epsilon} e^{-z}\,\frac{\mathrm{d}z}{z}\etiqueta{2} $$ donde $\gamma_\epsilon$ viene en a lo largo de la línea de $(1+i)x$, hace un cuarto de círculo hacia la derecha a lo largo de $|z|=\epsilon$, pasa a lo largo de la línea de $(1-i)x$ y, a continuación, de nuevo un cuarto de círculo en sentido antihorario a lo largo de $|z|=1/\epsilon$. No hay polos en el interior de esta ruta, por lo que la integral en $(2)$$0$.

La parte a lo largo de $|z|=1/\epsilon$ muere de forma exponencial a medida $\epsilon\to0$. Las dos partes a lo largo de las líneas suma a nuestra integral, $(1)$, y la parte a lo largo de $|z|=\epsilon$ tiende a $\frac14$ de la integral de $\frac{1}{2iz}$ de las agujas del reloj alrededor del origen; es decir, $-\pi/4$. Ya que la suma de estas partes es $0$, el límite en $(1)$ debe $\pi/4$. Es decir, $$ \int_0^\infty\frac{e^{-x}\sin(x)}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{4}\etiqueta{3} $$

Answer 5

Si usted sabe un poco acerca de la teoría de Fourier. Usted podría teorema de Parseval $$\int \!dx \,f(x) g(x)^* = \int \!d\xi\,\hat f(\xi) \hat g(\xi)^* $$ con $f(x) = \sin(x)/x$, $g(x) = \Theta(x) e^{-x}$ y $\hat{f}$, $\hat{g}$ sus transformadas de Fourier y $\Theta(x)$ la función escalón unitario.

Sugerencia: $\hat{f}(\xi) = \tfrac12\sqrt{\frac{\pi}{2}} [\Theta(1-\xi) + \Theta(1+\xi)] =\sqrt{\frac{\pi}{2}} \mathop{\rm rect}(\xi) $.