He estado tratando de ver si la siguiente afirmación es verdadera con el fin de dar una rápida prueba de otro problema que me estaba haciendo: si $K$ es un finito dimensionales extensión de la $p$-ádico números de $\mathbb{Q}_p$, tenemos el campo multiplicativo norma $N_{K/\mathbb{Q}_p}: K \rightarrow \mathbb{Q}_p$. Mientras que la norma no está garantizada para ser surjective, siempre es posible encontrar algunos $k \in K$ tal que $N_{K/\mathbb{Q}_p}(k)$ ($p$- adic) valor absoluto $1/p$?
Una de las formas me imagino que para hacer esto es para mostrar que no existe $\alpha, \beta \in K$ tal que $|N(\alpha)| = p^A$ $|N(\beta)| = p^B$ $A, B$ relativamente primos. La afirmación, a continuación, de la siguiente manera porque existen enteros $x, y$ tal que $xA + yB = 1$, de donde $\alpha^{-x}\beta^{-y} \in K$$|N(\alpha^{-x}\beta^{-y})| = |N(\alpha^{-x})N(\beta^{-y})| = |a|^{-x}|b|^{-y} = p^{-Ax}p^{-By} = 1/p$.
Mi reclamo me parece totalmente razonable, ya que de lo contrario existe alguna prime $q$ tales que el valor absoluto $p^s$ de todos los $N(k)$ $k$ corre a través de todos los de $K$ será tal que $s$ es siempre divisible por $q$, lo que no parece correcto.
