Lineal operador que transforma la convergencia uniforme a pointwise convergencia es continua

Question

Deje $H$ ser el espacio de las funciones reales continuas sobre $[0,1]$ con el supremum norma

Deje $A:H\to H$ ser un operador lineal tal que si $f_n\to f$ (en el sentido de la convergencia uniforme), a continuación, $A(f_n)$ converge pointwise a $A(f)$

Demostrar que $A$ es continua.

Desde $A$ es lineal, es suficiente para demostrar que $A$ es continua en a $0$. Es decir, dada una secuencia $f_n\in H$ tal que $||f_n||_\infty\to 0$, uno tiene que demostrar que $A(f_n)$ converge uniformemente a la $0$ función (ya se sabe que $A(f_n)$ converge pointwise a $0$).

Mis pensamientos hasta el momento: para cada $n$, $A(f_n)$ es un continuo, por lo tanto de manera uniforme función continua. Así, para cada $n$, se puede controlar localmente cómo $A(f_n)$ se comporta.

Además, $A(f_n)$ converge pointwise a $0$. Por lo tanto, podemos relacionar la $A(f_i)$ en una contables subconjunto de $[0,1]$ (racionales).

Sin embargo, no puedo encontrar una manera de controlar de manera uniforme la $A(f_i)$ (sólo sé cómo cada una de las $A(f_n)$ se comporta de forma individual, y que las secuencias de $(A(f_n)(r_i))_n$ $0$ cuando la $r_i$ son racionales.)

Gracias por cualquier sugerencia.

Answer 1

Vamos a demostrar esto mediante "sólo" de la categoría de Baire teorema.

Por supuesto, para todos los fijos $x\in [0,1]$, el funcional lineal $f\mapsto Af(x)$ es continua. De ello se deduce que para cualquier $N\in\mathbb N$, el conjunto de $$F_N:=\{ f\in H;\; \Vert Af\Vert_\infty\leq N\}$$ es cerrado en $H$. De hecho, una función de $f$ $F_N$ si y sólo si $\vert Af(x)\vert\leq N$ todos los $x\in [0,1]$, lo $F_N$ es una intersección de conjuntos cerrados.

Obviamente, tenemos $H=\bigcup_{N\in\mathbb N} F_N$. Por la categoría de Baire teorema de la, uno de los conjuntos cerrados $F_N$, decir $F_{N_0}$, contiene un trivial balón $B(f_0, r_0)$; es decir, hemos $\Vert Af\Vert_\infty\leq N_0$ todos los $f\in B(f_0,r_0)$. Así que tu lineal mapa de $A$ es limitado en algunos pelota, y por lo tanto es continua.