Evaluar esta indefinida inegral $\int \sin^{e}x \,dx$

Question

Cómo evaluar esta integral indefinida

$$\int \sin^{e}x\, dx$$

Me evaluar a partir de wolfram alpha, pero yo no lo consigue No tengo idea de donde debo empezar. Por favor, dame un toque.

Answer 1

La gráfica de esta función puede ser calculada a partir de este https://www.symbolab.com/graphing-calculator Mi idea es primero encontrar el área de cada uno de no-cero de pieza en y, a continuación, tomar la suma y ver su convergencia

Answer 2

La siguiente no es una solución, es solo una idea. No estoy seguro si es el camino correcto: $$I = \int \sin^{e}x\, dx$$

Aplicar la sustitución $$u=\sin(x) \Leftrightarrow x = \arcsin(u)$$$$ du = \cos(x)dx = \cos(\arcsin(u))\,dx = \sqrt{1 - u^2}\,dx \implica dx = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}\, du$$ También

$$I = \int \frac{u^e}{\sqrt{1 - u^2}} \, du $$
Multiplicar por el conjugado und tenemos $$I = \int\frac{u^e\sqrt{1-u^2}}{1-u^2}\,du$$