¿Cómo encontrar el mínimo de $x+y^2+z^3$?

Question

que $x,y,z>0$ y $x+3y+z=9$, encuentran el mínimo de

$$x+y^2+z^3$$

Creo que este problema es muy interesante. He encontrado esto cuando $$x=\dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{\sqrt{3}},y=\dfrac{3}{2},z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ $

I belive esta desigualdad tiene $AM-GM$ métodos, porque he veo este mismo problema puede utilizar métodos de $AM-GM$, y creo que este métodos es muy, muy agradable.

Si $a,b,c>0$ y $ a+b^2+c^3=\dfrac{325}{9}$, demuestran que $$a^2+b^3+c^4\ge\dfrac{2807}{27}$ $

mis métodos: que $a=x,b=y,c=z$ y $$x+y^2+z^3=\dfrac{325}{9}$ $ usa $AM-GM$, tenemos $ de $$a^2+x^2\ge 2ax$ $$b^3+b^3+y^3\ge 3yb^2$ $ $$c^4+c^4+c^4+z^4\ge 4zc^3$ $

entonces tenemos %#% $ #%

Answer 1

Desde $x+y^2+a^2+z^3+b^3+b^3\ge x+2ay+3b^2z$, ahora que $2a=3, 3b^2=1$. Usted puede determinar $ y=a=\frac{3}{2}, z=b=\frac{1}{\sqrt{3}}$ y $x=9-3y-z$ si la igualdad se mantiene.

Obtener una aproximación de AM-GM.