Sin embargo, la topología en la Recta de Sorgenfrey está generada por una premétrica.

Question

Supongamos que tenemos una álgebra de la sigma que es numerable. Quiero encontrar una variable aleatoria que se genera por esa variable aleatoria. Si la clase contable es sólo un conjunto único mi variable al azar es función del indicador. Pero, ¿cómo hacer en este caso? Si sumamos a todos los indicadores para definir la variable aleatoria la suma puede divergir. ¿Cómo asegurarse de convergen?

Answer 1

Sugerencia: Cada $\mathbf 1_{A_n}$ es mensurable con respecto a los $X=\sum\limits_k\frac1{3^k}\mathbf 1_{A_k}$.

Answer 2

En aras de la exhaustividad, podemos proporcionar la solución completa.

Lema. Deje $X_1, X_2, \dots$ ser una secuencia de variables aleatorias de Bernoulli $($no necesariamente independientes, no necesariamente con el mismo $p$valor$)$. Definir$$Y = \sum_{i=1}^\infty {{2X_i}\over{3^i}}.$$Then $\sigma(Y) = \sigma(X_1, X_2, \dots)$.

Prueba. Fix $n$, y considerar el caso de $\{X_n \in I\}$ donde $I \subset \mathbb{R}$ es un intervalo. Si $I$ contiene $0$$1$,$\{X_n \in I\} = \Omega \in \sigma(Y)$. Si $I$ no contiene ni $0$ ni $1$,$\{X_n \in I\} = \emptyset \in \sigma(Y)$. Si $I$ contiene $1$, pero no $0$,$\{X_n \in I\} = \{X_n = 1\}$. Este es el caso de que el $n$th dígito en el ternario de expansión de $Y$$2$, que ocurre exactamente cuando$$Y \in \bigcup_{k=1}^{3^{n-1}} \left[{k\over{3^{n-1}}} - {1\over{3^n}}, {k\over{3^{n-1}}}\right],$$which is a Borel set. Thus in this case, $\{X_n \I\} \in \sigma(S)$. If $I$ contains $0$, but not $1$, then $\{X_n \I\} = \{X_n = 0\}$ and a similar argument to the preceding case shows $\{X_n \I\} \in \sigma(S)$. Since intervals generate the Borel $\sigma$-algebra on $\mathbb{R}$, it follows that $\sigma(X_1, X_2, \dots) \subconjunto \sigma(Y)$.

Ahora, elija $x \in [0, 1]$ y escribir un ternario de expansión $x = 0.a_1a_2a_3\dots$. Entonces tenemos$$\{Y \ge x\} = \bigcup_{k=1}^\infty \left(\{2X_1 \le a_1\} \cap \{2x_2 \le a_2\} \cap \dots \cap \{2X_k > a_k\}\right) \in \sigma(X_1, X_2, \dots).$$Since the intervals $[x, \infty)$ generate the Borel $\sigma$-algebra on $\mathbb{R}$, it follows that $\sigma(Y) \subconjunto \sigma(X_1, X_2, \dots)$.$\etiqueta*{$\square$}$

Deje $X: \Omega \to \mathbb{R}$ ser una variable aleatoria. Recordemos que el Borel $\sigma$-álgebra en $\mathbb{R}$ es countably generado; deje $\{A_i\}$ ser una contables de la generación de colección para los conjuntos de Borel. Es un ejercicio izquierda para el lector demostrar que todo conjunto de Borel puede ser obtenida por una secuencia de conteo, los sindicatos y complementations de la $A_i$ $($como alternativa, se puede utilizar el Dynkin $\pi$-$\lambda$ Teorema$)$. Dado que estas operaciones se conservan en tomar preimages, cada caso de la forma $\{X \in B\}$ donde $B$ es un conjunto de Borel, se incluye en $\sigma\left(X^{-1}(A_1), X^{-1}(A_2), \dots\right)$. Por lo tanto $\sigma(X)$ es countably generado, por la colección de $\left\{X^{-1}(A_i)\right\}$.

Por el contrario, supongamos $\mathcal{G}$ es countably generado, decir, por la colección de $\{A_i\}$. Para cada una de las $i \in \mathbb{N}$, defina la variable aleatoria $X_i = \mathbb{1}_{A_i}$. Evidentemente, $\sigma(X_1, X_2, \dots) = \mathcal{G}$, ya que el evento $\{X_i \in A_i\}$ es sólo $A_i$ por cada $i \in \mathbb{N}$. Tenga en cuenta que cada una de las $X_i$ es de Bernoulli distribuido, tomando el valor $1$ con una probabilidad de $P(A_i)$ y el valor de $0$ con una probabilidad de $1 - P(A_i)$. Por lo tanto, la configuración de $Y = \sum(2X_i)/3^i$, el lema implica que $\mathcal{G} = \sigma(Y)$.