Clases Conjugacy en el grupo fundamental de la

Question

Quiero resolver el siguiente problema (Hatcher Ch.1, resolución de 6):

Podemos considerar $π_1(X,x_0)$ como el conjunto de punto de base-la preservación de homotopy clases de mapas de $(S_1, s_0)→(X,x_0)$. Deje $[S_1,X]$ el conjunto de homotopy clases de mapas de $S_1→X$, con ninguna de las condiciones en basepoints. Por lo tanto es natural mapa de $Φ :π_1(X,x_0)→[S1,X]$ obtenidos por ignorar basepoints. Mostrar que $Φ $ a si $X$ es la ruta de acceso conectado, y que $Φ([f]) = Φ([g])$ fib $[f]$ $[g]$ son conjugado en $π_1(X,x_0)$. Por lo tanto $Φ$ induce un oneto- la correspondencia entre el $[S_1,X]$ y el conjunto de clases conjugacy en $π_1(X)$, al $X$ es la ruta de acceso conectado.

Para mostrar que $Φ$ a, vamos a $[\phi]$ ser un elemento de $[S_1,X]$. A continuación, puede ser representada en el camino de $f$ a un punto de $x_1 \in X$. Por el camino-conectividad, hay un camino de $\gamma$ conectar $x_0$$x_1$, por lo que podemos considerar el camino de $\gamma \star f \star \bar{\gamma}$$x_0$. Entonces hay una homotopy entre el $\gamma \star f \star \bar{\gamma}$ $f$ (no en base a-punto de la conservación) por desplazan continuamente en el punto de base de $x_0$ $x_1$a través de la ruta de $\alpha$. Por lo tanto $\Phi[\gamma \star f \star \bar{\gamma}] = \Phi[f] = [\phi]$. Sin embargo, no tengo ni idea de qué hacer para mostrar el conjugacy parte.

Answer 1

Uso Lema 1.19 en ese mismo libro. Se dice que si $\varphi_t:S^1\to X$ es un homotopy y si $h$ indica el camino de $\varphi_t(s_0)$ formado por las imágenes de $s_0$ $\varphi_{0*}$ es igual a la composición de la $\pi(S^1,s_0)\xrightarrow{\varphi_{1*}}\pi(X,\varphi_1(s_0))\xrightarrow{\beta_h}\pi(X,\varphi_0(s_0))$ donde $\beta_h([f])=[h\cdot f\cdot\overline h]$. En el caso de $\varphi_0(s_0)=\varphi_1(s_0)=x_0$ el camino de $h$ se convierte en un bucle. Esto le da una dirección. La otra dirección no debería plantear dificultades, teniendo en cuenta que usted sabía cómo se muestran los surjectivity.

Answer 2

A veces es más fácil probar una más general resultado. Deje $Y$ ser un espacio así señaló punto de base $y$, es decir, $(Y, \{ y \})$ tiene el HEP, y deje $X$ ser un espacio con punto base $x$. Considerar el mapa de homotopy clases de $p: [Y,X] _\bullet \to [Y,X]$ donde el primero es el punto base la preservación de homotopy clases y el segundo es el libre homotopy clases. El resultado es que si $X$ es la ruta de acceso conectado, a continuación, $p$ es surjective y el grupo $\pi_1(X,x)$ opera en el set $[Y,X]_\bullet$, de modo que el cociente es $[Y,X]$.

Esto es en realidad 7.2.12 de la Topología y de la Groupoids; la prueba no utiliza la noción de fibration de groupoids, que es divertido de todos modos, pero la clave de la sugerencia es que se necesita la HEPATITIS a obtener la operación dada anteriormente. Espero que le ayude.