La convergencia de una serie de Fourier

Question

Deje $f$ $2\pi$ función periódica que es la extensión de $$x^{1/n}, 0 \le x \le \pi,$$ where $n \ge 2$.

Estoy buscando un teorema general que implica que la serie de Fourier de $f$ converge a $f$, pointwise, de manera uniforme o absolutamente.

Answer 1

Tal vez usted puede aplicar el encontrar aquí: http://books.google.com/books?id=XqqNDQeLfAkC&pg=PA84

Instantánea:

Answer 2

He encontrado los siguientes teoremas del libro "Introducción a los clásicos del análisis real" por Karl R. Stromberg, 1981.

1. (Zygmund) Si $f$ satisface una Hölder (también llamado de Lipschitz) condición de orden $\alpha\gt 0$ $f$ es de variación acotada en $[0,2\pi]$, entonces la serie de Fourier de $f$ converge absolutamente (y por lo tanto de manera uniforme). p. 521.
   Esto se aplica para el ejemplo en mi pregunta.

2. Si $f$ es absolutamente continua, entonces la serie de Fourier de $f$ converge uniformemente, pero no necesariamente absolutamente. p. 519 Ejercicio 6(d) y p.520 Ejercicio 7c.

3. (Bernstein) Si $f$ satisface una condición de Titular de la orden de $\alpha\gt 1/2$ , entonces la serie de Fourier de $f$ converge absolutamente (y por lo tanto de manera uniforme). p.520 Ejercicio 8 (f)

4. (Hille) Para cada una de las $0<\alpha\le 1/2$, existe una función que satisface una condición de Titular de la orden de $\alpha$ cuya serie de Fourier converge uniformemente, pero no absolutamente. p.520 Ejercicio 8 (f)

Answer 3

Usted puede hacer realidad su ejemplo bastante explícita. Para $f(x) = |x|^{\alpha}$ usted realmente tiene que $\hat{f}(n) = c_{\alpha} n^{-1 - \alpha} + O(n^{-2})$, por lo que el coseno de la serie es absolutamente convergente. Si la serie de Fourier de una función continua converge, tiene que converge a la función original; me refiero a un análisis de Fourier para el texto de este hecho, sin embargo.

Para obtener la expresión anterior para $\hat{f}(n)$, cabe recordar que la $\hat{f}(n)$ se define como $\hat{f}(n) = 2\int_0^1x^{\alpha} \cos(n\pi x)dx$. La integración por partes, esto es igual a ${2 \alpha \over \pi}n^{-1}\int_0^1x^{\alpha - 1} \sin(n\pi x)dx$. Esto a su vez puede ser escrito como ${2 \alpha \\pi}n^{-1} \int_0^\infty x^{\alpha - 1} \sin(n\pi x)dx - {2 \alpha \\pi}n^{-1} \int_1^\infty x^{\alpha - 1} \sin(n\pi x)dx$. (Estas integrales son convergentes las integrales impropias).

Cambiando las variables de $x$ $nx$la primera integral se convierte en el principal término $c_{\alpha}n^{-1 - \alpha}$. Mediante una mayor integración por partes y luego tomando valores absolutos, el segundo término está delimitado por $C n^{-2}$ según sea necesario.

Answer 4

Lo he buscado en la Wikipedia. Suponiendo que los artículos son correctos, parece que su función satisface una condición de Hölder y así por el Dirichlet-Dini chriterion su serie de Fourier converge pointwise a f.

Usted también podría mostrar que su función es de Lipschitz y, a continuación, usted tendría absoluta convergencia de su serie de Fourier.