Ecuaciones trigonométricas con identidades

Question

¿Cómo lo resolverías?

$2\csc^2x=3\cot^2x-1$

Dije:

1. Gire el cosecante a $1+\cot^2~x$ .

2. Distribuir para obtener $3=\cot^2~x$ .

3. Conviértalo en tan . Para obtener $\tan x=\frac{1}{\pm \sqrt3}$ .

¿Es correcto?

Answer 1

Tu método está bien.

Otro enfoque:

$$2\text{cosec}^2x = 3(\text{cosec}^2x -1) -1 = 3\text{cosec}^2x -4 $$

$$ \text{cosec}^2x-4= 0$$

$$ \frac{1}{\sin^2x} = 4$$

$$ \sin^2x = \frac{1}{4}$$

$$ x = k\pi \pm\frac{\pi}{6} $$

Answer 2

Fíjate, también podemos resolverlo de la siguiente manera $$2\csc^2 x=3\cot^2 x-1$$ $$\implies \frac{2}{\sin^2 x}=\frac{3\cos^2 x}{\sin^2x}-1$$ $$\implies 2=3\cos^2 x-\sin^2x$$ $$\implies 3\cos^2 x-(1-\cos^2x)=2$$ $$\implies 4\cos^2 x=3$$ $$\implies \cos^2 x=\frac{3}{4}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$$ $$\implies \cos^2 x=\left(\cos\frac{\pi}{6}\right)^2$$ Ahora, escribiendo la solución general como sigue $$\implies \color{blue}{x=n\pi\pm\frac{\pi}{6}}$$ Dónde, $\color{blue}{\text{n is any integer}}$

Answer 3

Su planteamiento es correcto.

Para mayor comodidad y rapidez en la aplicación de látex, abrevio/algebraizo las funciones trigonométricas, colocando sus argumentos en posición de sufijo:

$$ \frac{2}{s_x^2}= 3(\frac{1}{s_x^2} -1) -1 = \frac{3}{s_x^2} -4 $$

Simplificando se obtiene:

$$ s_x = \pm \frac12 ;\, x = n\pi \pm\frac{\pi}{6}. $$