Caracterización de un sistema cerrado de asignación de

Question

Estoy teniendo problemas con esta pregunta básica. Creo que es muy fácil, pero me siento como bloqueado o ciegos con ella.

Supongamos que tenemos un mapeo $f\colon X \to Y$, los siguientes son equivalentes:

a) $f$ es cerrado,

b) $\forall U$ abierto $X$, $\{y\in Y\mid f^{-1}(y)\subset U\}$ está abierto en $Y$,

c) $\forall C$ cerrado $X$, $\{y\in Y\mid f^{-1}(y)\cap C\not= \emptyset \}$ cierra $Y$.

He intentado ver el ver que, como f es cerrado, y $X\setminus U$ es cerrado como $U$ es cerrado, entonces la imagen es cerrado, por lo que es complementario es abierto y, a continuación, tratar de ver que $\{y\in Y\mid f^{-1}(y)\subset U\} = Y\setminus f(X\setminus U)$, pero sin éxito. Y también tratar con el interior y adhesiones, pero no un éxito de nuevo.

Espero que alguien me puede dar algunas pistas o decirme lo que me falta.

Edit: $b\implies c \implies a$ es fácil y se puede hacer con la misma idea acerca de la toma de opuestos, acabo de perder algo acerca de la primera implicación

Answer 1

Estoy de acuerdo con tu idea, demostrar: $\{y\in Y; f^{-1}(y)\subseteq U\} = Y-(f(X-U))$.

Supongamos $f^{-1}(y)\subseteq U$. Entonces no hay nada en $X-U$ es enviado a $y$, es decir,$f^{-1}(y)\cap (X-U) = \emptyset$$f(f^{-1}(y))=y\not\in f(X- U)$.

Por el contrario,

Si $y\not \in f(X-U)$ a continuación, de nuevo, nada en $X-U$ es enviado a $y$, lo $f^{-1}(y)\subseteq U$ (posiblemente vacía!).