Dado $g(x)$ y $f(g(x))$ , resuelve para $f(x)$ .

Question

Me he topado con un muro en la pregunta anterior y no he podido encontrar ningún ejemplo en línea que también contenga trigonometría en $f(g(x))$ . Estoy seguro de que se me escapa algo muy obvio, pero no consigo entenderlo.

$$ g(x)=3x+4 , \quad f(g(x)) = \cos\left(x^2\right)$$

Hasta ahora he conseguido llegar al punto en el que tengo $f(x+8) = \cos\left(x^2\right)$ resolviendo $g^{-1}(g(x))$ (basado libremente en el último consejo aquí ), pero no puedo hacer esa conexión final.

Mi mejor intento hasta ahora fue $f(x)=\cos(x^2-16x+64)$ pero si bien eso da lugar a $x^2$ , sigue siendo erróneo debido a que es un coseno.

Answer 1

Una pista: $(f \circ g) \circ g^{-1} =f \circ (g \circ g^{-1}) = f$

Answer 2

$$y=g(x)=3x+4$$ $$x=\frac{y-4}{3} \Rightarrow g^{-1}(x)=\frac{x-4}{3}$$ $$f=f \circ (g \circ g^{-1})=(f \circ g) \circ g^{-1} =\cos \left(\frac{x-4}{3} \right)^2 $$