¿Converge$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^3+x}}$?

Question

Me gustaría su ayuda con la comprobación de si $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^3+x}}$ converge o no. Aquí están los pasos que me llevó a la conclusión de que la integral hace converger, pero no estoy realmente seguro.

En primer lugar, vio que yo no puede fácilmente calcular $\int \frac{dx}{\sqrt{x^3+x}}$, así que quería ver lo que pasa cuando x tiende a infinito. No es muy formal, pero puedo ver que el integral de "actos" como $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^3}}$, por lo que en la infinty es casi como $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^{3/2}}$ y ya está en el formato " $\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x^p}$ donde $p>1$ llegué a la conclusión de que converge. (¿Es cierto? o no me debe separar a las dos integrales $\int_{0}^{a}\frac{1}{x^p}$ + $\int_{a}^{\infty}\frac{1}{x^p}$ y verificar tanto?).

¿Qué te parece? ¿cuál es la forma correcta para comprobar la convergencia de esta integral?

Muchas gracias!

Answer 1

Dado que el integrando tiene una singularidad en $x=0$, usted tiene que dividir la integral en dos, como $$ \int_{0}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{x^{3}+x}}dx=\int_{0}^{b}\frac{1}{\sqrt{x^{3}+x}}dx+\int_{b}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{x^{3}+x}}dx\qquad b>0. $$

Como para la primera integral el uso de la prueba de límite de

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{\sqrt{x^{3}+x}}}{\frac{1}{\sqrt{x}}} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}=1$$

a la conclusión de que la $\int_{0}^{b}\frac{1}{\sqrt{x^{3}+x}}dx$ es convergente, porque así es $\int_{0}^{b}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$. La segunda integral es convergente por el argumento que has indicado.

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Comentario: ¿Cómo elegir la función de $g(x)=x^{-1/2}$ a comparar con $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{3}+x}}=x^{-1/2}\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\ ?$$ The binomial series $\izquierda( 1+x\right) ^{\alpha }=\sum_{k=0}^{\infty }\binom{\alpha }{k}x^{k}$ yields for $\alpha =-1/2$

$$\frac{1}{\sqrt{1+x}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^{2}+\ldots .$$

Sustituyendo $x^{2}$$x$, obtenemos

$$\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}=1-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{8}x^{4}+\ldots $$

En consecuencia,

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{3}+x}}=x^{-1/2}-\frac{1}{2}x^{3/2}+\frac{3}{8} x^{7/2}+\ldots .$$

La función de $g(x)=x^{-1/2}$ es el primer término de esta expansión.

Answer 2

Debe separar en dos integrales, por ejemplo,$0$ a$1$ y$1$ a infinito, y ambos convergen y la integral converge. (de$0$ a$1$ la integral es de la misma clase de$1/ x^{0.5}$)