Analogy entre$\Bbb F[x]$ y$\Bbb Z$?

Question

Supongamos que$\Bbb F$ es un campo.

¿La forma simplificada de$(x+1)^4$ en$\Bbb F[x]/(x^2-1)(x+1)$ tiene alguna conexión para reducir$(a+1)^4$ en$\Bbb Z/(a^2-1)(a+1)$ y reducir$(a-1)^4$ en$\Bbb Z/(a^2-1)(a-1)$ donde$a\in\Bbb N$ tiene?

Answer 1

Sí, siempre se puede especializarse tales ecuaciones polinómicas a través de la evaluación de hom

$$\begin{align} f(x) &= q(x) g(x) + r(x)\ \Rightarrow\ f(x) = r(x) \ \ {\rm in}\ \ \Bbb F[x]/q(x)\\ \Rightarrow\ \ f(a) &= q(a) g(a) + r(a) \ \,\Rightarrow\ f(a) = r(a) \ \ {\rm in}\ \ \Bbb Z/q(a) \end{align}$$

Por ejemplo, echar a los nueves puede ser visto de esa manera a la hora de interpretar la notación decimal en el polinomio de la forma, yo.e $\, n = f(10) = f_0 + f_1\cdot 10+\cdots +f_n\cdot 10^k.\ $ $$\begin{align} f(x) &= (x\!-\!1) g(x) + f(1)\ \Rightarrow\ \,\ f(x) = f(1) \ \ {\rm in}\ \ \Bbb Z[x]/(x\!-\!1)\\ \Rightarrow\ \ f(10) &= \ \quad\ 9\ g(10) + f(1) \ \Rightarrow\, f(10) = f(1) \ \ {\rm in}\ \ \Bbb Z/9 \end{align}$$

donde $\, f(1) = $ suma de los dígitos de $\,n.\,$, Por otro ejemplo, vamos a $\,f_n = (x^n-1)/(x-1),\,$ que satisface $\, \gcd(f_m,f_n)\, =\, f_{\,\gcd(m,n)}.\,$ Especializada asociada Bezout mcd de identidad para $\,\gcd(m,n)=\gcd(15,21) = 3,\,$ a continuación, evaluar los polinomios en $\,x=2\,$ rendimientos

$$\rm \begin{align} \frac{x^3-1}{x-1} &=\ (x^{15} + x^9 + 1)\ \frac{x^{15}-1}{x-1}\ -\ (x^9+x^3)\ \frac{x^{21}-1}{x-1}\\[0.5em] \Rightarrow\ \ 2^3-1\ &=\ (2^{15}+2^9+1)\ (2^{15}-1)\ -\ (2^9+2^3)\ (2^{21}-1) \end{align}$$

Ver esta respuesta para más información sobre la divisibilidad de la secuencia.

Answer 2

(Lo siento si no he entendido tu pregunta, pero esta es la mejor explicación de algunos "conexión" me puede venir para arriba con. Por favor, ser más específico en tu pregunta si esto no era lo que estaban buscando.)

Como polinomios, $(x+1)^4$ es congruente a $4x^2+8x+4$ modulo $(x^2-1)(x+1)$ y, a continuación, cómo simplificar $4$ $8$ lo que depende de las características del campo.

Como los números naturales, por cualquier $a \in N$, $(a+1)^4$ es congruente a $4a^2+8a+4$ modulo $(a^2-1)(a+1)$. Creo que aquí, la conexión es muy claro, porque estás haciendo la misma división de polinomios proceso para encontrar el divisor; es sólo que en el principio, los objetos son en realidad polinomio, mientras que aquí, sólo estamos trabajando con expresiones polinómicas.

También, para cualquier $a \in N$, $(a-1)^4$ es congruente a $4a^2-8a+4$ modulo $(a^2-1)(a-1)$, así que yo no veo la conexión aquí.