¿Cuál es el límite de esta función específica?

Question

Por favor, evalúe el siguiente límite para mí:

ps

Hice todo lo posible para resolver esto, pero desafortunadamente es demasiado difícil para mí. Intenté multiplicar por su conjugado y factorizar el$$\lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{x^2+8}-3}{x+1} $, pero no puedo deshacerme de ese$x^2$ en el denominador, por lo que siempre permanece en la forma indeterminada.

Answer 1

Multiplique la función por$$\frac{\sqrt{x^2 + 8} +3}{\sqrt{x^2 + 8}+3}$ $

Tendrás una diferencia de cuadrados en el numerador de la forma$(a -b)(a+ b)$ que, por supuesto, es$a^2 - b^2$. Deberías haber obtenido, en el numerador:$$(\sqrt{x^2 + 8})^2 - (3^2) = x^2 + 8 - 9 = x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$ $

Simplificando, obtendrá$$\lim_{x\to -1} \frac {\overbrace{x^2 -1}^{(x + 1)(x-1)}}{(x+1)(\sqrt{x^2 + 8} +3)} = \lim_{x\to -1} \frac {x-1}{\sqrt{x^2 + 8} +3} = \frac{-2}{6} = -\frac 13$ $

Answer 2

Use la regla de L'hopital (Válido ya que la función es de la forma$\frac{0}{0}$). La derivada de la parte superior tiene un límite igual a$-\frac{1}{3}$ y la derivada del denominador es la constante$1$.

Answer 3

Multiplicar$$\frac{\sqrt{x^2+8}-3}{x+1}$ $ por$$\frac{\sqrt{x^2+8}+3}{\sqrt{x^2+8}+3}\ \ (=1)$ $ te da$$\begin{align}\lim_{x\to -1}\frac{(\sqrt{x^2+8}-3)(\sqrt{x^2+8}+3)}{(x+1)(\sqrt{x^2+8}+3)}&=\lim_{x\to -1}\frac{\color{red}{(x+1)}(x-1)}{\color{red}{(x+1)}(\sqrt{x^2+8}+3)}\\&=\lim_{x\to -1}\frac{x-1}{\sqrt{x^2+8}+3}\\&=\frac{-2}{\sqrt 9+3}\\& =-\frac 13.\end{align}$ $

Answer 4

tenemos$\frac{(\sqrt{x^2+8}-3)(\sqrt{x^2+8}+3)}{(x+1)(\sqrt{x^2+8}+3)}$ simplificando esto obtenemos$\lim_{x \to -1}\frac{x-1}{\sqrt{x^2+8}+3}$
Sonnhard.