Por qué usar el biconditional en el Axioma de Extensionalidad

Question

Estoy estudiando el Axioma de Extensionality en la siguiente forma:

$$ \forall \forall b[\forall x\in a\leftrightarrow x\b)\rightarrow a=b] $$ (donde la cuantificación de a,b se limita a los conjuntos y cuantificación de x puede oscilar sobre los objetos de dominio, así como conjuntos)

¿Cuál es la ventaja de la anterior formulación sobre el siguiente, donde el bicondicional es reemplazado con el conjunto? E. g.

$$ \forall \forall b[\forall x\in a\wedge x\b)\rightarrow a=b] $$

Soy consciente de que la conjunción y la bicondicional no son lógicamente equivalentes, ya que sus tablas de verdad se diferencian en el caso de que ambos argumento proposiciones son falsas.

Así que parece que estas dos formas diferentes en el caso de que un elemento del dominio no está ni en una ni b.

El uso de la conjunción de la forma, en este caso se convierten en el principal condicional del axioma vacuously true ($False\rightarrow True$). El uso de la bicondicional forma, este caso hace que el principal condicional de la forma $True\rightarrow True$. De cualquier manera, el principal condicional es verdadero.

Así que, ¿cuál es la ventaja de la bicondicional?

Answer 1

$\forall x(x\in a\land x\in b)$ siempre es falso, por lo que su versión es totalmente cierta para todos los conjuntos$a$ y$b$.

Answer 2

Recordemos que la regla de inferencia para la implicación de los estados que si conocemos $\phi$ es verdadero, y si sabemos que $\phi\rightarrow\psi$ es cierto, entonces podemos deducir que el $\psi$ es cierto. Aviso que no decir también que si sabemos $\phi$ es falso e $\phi\rightarrow\psi$ es cierto, que podemos deducir $\psi$ es cierto. De hecho, es mejor no porque luego (porque de LEM) cuando $\phi\rightarrow\psi$ es verdadero, $\psi$ sería verdadero, lo cual es absurdo).

Ahora, hay una leve con el análisis de los dos axiomas, un pequeño circularidad: se consideran sólo cómo los axiomas instancia cuando ya se tiene $a=b$, y de hacer análisis de casos, dependiendo de si hay un $x$ $a$ o no. Es necesario también considerar el caso cuando se $a\neq b$. Este error de no hacer una diferencia, sin embargo, de sólo oscurece lo que sucede porque usted debe considerar si $x\in a$ o no independientemente de si $a=b$.

Se puede ver, queremos que el axioma nos permiten concluir $a=b$ bajo condiciones apropiadas. Con el bicondicional forma, es claro que podemos derivar $a=b$ si tenemos una manera de mostrar que para cada $x$, $x\in a\rightarrow x\in b$ y $x\in b\rightarrow x\in a$, que es exactamente lo que queremos.

Con la conjunción de la forma, podemos deducir $a=b$ si para cada $x$, $x\in a$ y $x\in b$. En particular, sólo podemos derivar $a=b$ si $a$ $b$ ambos contenían todo lo posible por $x$. Si hay un $x\not\in a$ (o $x\not\in b$), luego el axioma se convierte en False${}\rightarrow a=b$, de modo que no se puede derivar $a=b$. A pensar en lo que pasaría a la teoría de conjuntos cuando este es el caso, imagine que usted tiene colores diferentes conjuntos tienen los mismos elementos (a menos que contengan todo, que creo que Russel paradoja aún podría ir a través de este tipo de series no existen). A continuación, aplicar la comprensión de diseñar un conjunto vacío, le dará muchos colores diferentes de vacío conjuntos, que usted no será capaz de demostrar que son iguales.

Answer 3

Elaborar un poco sobre Brian respuesta: a pesar de que ambas versiones de extensionality son verdaderas, en la formulación de axiomas para la teoría de conjuntos (o para cualquier otra teoría) que no sólo quieren verdaderos axiomas. Comparar su pensamiento con la siguiente:

Considere la posibilidad de:

(*) Si usted pone su mano en el fuego, se quema

Poniendo extrañas excepciones a un lado, (*) es verdadera. Pero así, vacuously, es:

(**) Si se pone la mano en el fuego, poner la mano en el fuego

Así que ¿por qué utilizar (* ) y no meramente (**)?

Answer 4

"Hay dos distintos vacía de conjuntos" es una frase que es independiente de $E'+C$ donde $C$ denota Comprensión y $E'$ denota la variante de Extensionality propuesto anteriormente. En contraste, la frase es falsa en $E+C$ donde $E$ denota Extensionality.

Una forma de contrastar $E'$ $E$es leer en el contrapositivo: si $a \neq b$, $E$ requiere de un elemento en la diferencia simétrica de a$a$$b$, mientras que el $E'$ está satisfecho simplemente por un elemento fuera de la unión de $a$$b$. (En caso de $a$ $b$ no tienen elementos, a continuación, $E'$ está satisfecho simplemente dejando $a \neq b$.)