¿Por qué una coordenada cíclica reduce la dimensión del colector de cotangentes en 2?

Question

Las notas de nuestro profesor decían, "En general, en la dinámica Hamiltoniana una constante de movimiento reducirá la dimensión del espacio de fase en dos dimensiones, no sólo una como en la dinámica Lagrangiana". Para demostrar esto, utiliza la fuerza central Hamiltoniana,

$$H= \frac {P_r^2}{2m}+ \frac {p_{ \theta }^2}{2mr^2}+ \frac {p_{ \phi }}{2mr^2 sin^2 \theta } + V(r).$$

Por la ecuación de Hamilton $ \dot {p_{ \phi }}=0$ esta es una constante del movimiento. Como resultado, especificando $p_{ \phi }= \mu $ nos da un múltiple de 5 dimensiones. Las notas continúan diciendo, "Además, en cada submanifold invariante se puede escribir el Hamiltoniano:

$$H= \frac {P_r^2}{2m}+ \frac {p_{ \theta }^2}{2mr^2}+ \frac { \mu }{2mr^2 sin^2 \theta } + V(r),$$

que es un Hamiltoniano que implica sólo dos libertades $r$ y $ \theta $ . Por lo tanto, el movimiento se produce en un submanifold de 4 dimensiones del submanifold de 5 dimensiones de $T^*Q$ . . ."

Sin embargo, me parece que todavía tenemos cinco grados de libertad: $p_{ \theta },$ $p_r,$ $r,$ $ \theta ,$ y $ \phi $ . Por lo tanto, no estoy seguro de lo que quiere decir cuando dice que la presencia de una constante de movimiento reduce la dimensión del colector de cotangentes en 2. ¿Está diciendo que si especificamos un valor numérico para H, entonces la dimensión se reduce de 5 a 4? ¿O sólo la presencia de una coordenada cíclica reduce la dimensión de 6 a 4?

Answer 1

Recuerde que $$ \dot { \mathbf {p}}=- \frac { \partial H}{ \partial\mathbf {q}} $$ Desde $H$ no depende en realidad de $ \phi $ Entonces $$ \dot {p}_ \phi =0=- \frac { \partial H}{ \partial\phi } $$

Esto eliminará $p_ \phi $ y $ \phi $ de sus coordenadas: $H(p_r,p_ \theta ,p_ \phi ,r, \theta , \phi ) \to H(p_r,p_ \theta ,r, \theta )$ .

Answer 2

En mi opinión, su profesor está siendo liberal con la terminología de una manera confusa, y creo que esencialmente ya ha señalado por qué en su comentario sobre la respuesta de Kyle.

Examinemos un ejemplo sencillo. Consideremos la partícula libre que se mueve en tres dimensiones espaciales. El espacio de configuración de la partícula libre es $ \mathbb R^3$ y su espacio de impulso también es $ \mathbb R^3$ ya que puede tener cualquier triple de números $(p_x, p_y,p_z)$ como su momento. Así que todo el espacio de fase es $ \mathbb R^6$ es de seis dimensiones.

Ahora, recuerden que la partícula libre hamiltoniana es \begin {alinear} H(p_x, p_y,p_z, x,y,z) = \frac {1}{2m}(p_x^2+p_y^2+p_z^2) \end {alinear} Cada uno de los $x$ , $y$ y $z$ es una coordenada cíclica, así que a lo largo de cualquier solución de las ecuaciones de movimiento, $p_x$ , $p_y$ y $p_z$ son constantes. Esto significa que a medida que la partícula se mueve, se mantiene en su punto inicial $(p_x(t_0), p_y(t_0),p_z(t_0))$ en su espacio de impulso. Las ecuaciones de Hamilton también muestran que la partícula se moverá en líneas rectas en el espacio de configuración.

¿Pero diríamos que el espacio de fase de la partícula libre es de dimensión cero porque hay tres coordenadas cíclicas y $6-2-2-2=0$ ? Esa sería una terminología extremadamente no estándar.

El lenguaje del profesor indica (hasta donde puedo decir) que está tratando de decir algo sobre los submanifolds invariantes del Hamiltoniano, es decir, submanifolds del espacio de fase que están mapeados en sí mismos bajo la evolución temporal del Hamiltoniano. Aún así, no estoy seguro de que se pueda encontrar mucho sentido a este asunto de que cada coordenada cíclica reduzca la dimensión del espacio fásico en dos.

En el caso de las partículas libres, por ejemplo, el múltiple con coordenadas $\{(0,0,0,x,y,z)\,|\, x,y,z \in\mathbb R^3\}$ El espacio de configuración, es decir, todo el espacio de configuración, es un submanifold invariable de la evolución Hamiltoniana que es tridimensional (no zero-dimensional).

Hay otras situaciones en las que sería estándar decir que hay una reducción de la dimensión del espacio de fase, a saber, situaciones en las que hay una restricción en el sistema en lugar de una cantidad conservada.

Tomemos, por ejemplo, la partícula libre que se mueve en el plano sujeto a la restricción $y=y_0$ por alguna constante $y_0$ . En este caso, el impulso canónico en la $y$ - la dirección se limitará a desaparecer, $p_y = 0$ porque de lo contrario la partícula se movería fuera de la $x$ -eje. En este caso, aunque la partícula se mueve en el espacio de fase $ \mathbb R^4$ su movimiento está siempre restringido a estar en un submanifold bidimensional particular $\{(x,0,p_x,0)\,|\, \mathbb R^2\}$ de $ \mathbb R^4$ que es isomorfo a $ \mathbb R^2$ .

Adición. La terminología estándar es que para un sistema dado, el espacio de configuración $Q$ es precisamente el conjunto de todas las posiciones posibles del sistema. Si hay $N$ partículas en el sistema, entonces el espacio de configuración será un subconjunto de $ \mathbb R^{3N}$ y a menudo es un múltiple liso. Si lo es, entonces el espacio de fase es precisamente el paquete cotangente $T^*Q$ de $Q$ un objeto matemático estándar cuya definición es precisa. El Hamiltoniano es entonces una función en $T^*Q$ . Note, en particular, que si hay una coordenada cíclica en el Hamiltoniano, entonces, estrictamente hablando, el espacio de fase no cambia, a saber, el dominio de $H$ sigue siendo $T^*Q$ pero el Hamiltoniano simplemente no depende de una de las coordenadas. Usar la terminología de que el espacio de fase ha cambiado de dimensión en este caso es, en mi opinión, un poco abusivo.

Como una analogía, supongamos que tengo una función de valor real de dos variables reales $f$ definido de la siguiente manera: \begin {alinear} f(x,y) = x^2 \end {alinear} Es el dominio de la función $ \mathbb R$ en lugar de $ \mathbb R^2$ simplemente porque no depende de $y$ ? No; su dominio sigue siendo $ \mathbb R^2$ .