Una pregunta de teoría de números sobre $4^a+4a^2+4=b^2$

Question

Encuentre todos $(a,b)$ pares de números naturales que satisfacen la ecuación

$$4^a+4a^2+4=b^2$$ La primera observación es que $b$ debe ser par, y utilizando este hecho y luego dividiendo ambos lados por $4$ obtenemos $$4^a+4a^2+4=4c^2$$ $$4^{a-1}+a^2+1=c^2$$ En este paso estoy atascado, pero he pensado en utilizar la factorización. ¿Qué me sugieres aquí? Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que $4^a$ es un cuadrado perfecto, es decir $(2^a)^2$ . El siguiente incluso el cuadrado perfecto es $(2^a+2)^2=4^a+4(2^a)+4$ .

Para la mayoría de $a$ ¡esto será demasiado grande! Tan pobre $4^a+4a^2+4$ suele estar atrapado entre dos cuadrados pares consecutivos, y por lo tanto no puede ser un cuadrado.

Por lo tanto, nuestros únicos candidatos son los $a$ tal que $4a^2+4\ge 4(2^a)+4$ Es decir, $a^2\ge 2^a$ . No hay muchos.

Observación: Puede utilizar su $4^{a-1}+a^2+1$ idea primero, y luego el argumento del tamaño.