¿Cómo verificar la no negatividad de una matriz de densidad?

Question

Una matriz de densidad, $\rho$ debe ser hermitiana, normalizada ( $Tr[\rho]=1$ ) y no negativo. La no negatividad significa que debe tener valores propios no negativos. Dada una matriz de densidad, las dos primeras condiciones son fáciles de comprobar. Pero, ¿cómo verificar la no negatividad de una matriz de densidad sin calcular explícitamente los valores propios? El cálculo de los valores propios puede ser muy difícil para una matriz de densidad de dimensión arbitraria.

Answer 1

A no negativo (también conocido como. semipositivo ) operador $^{1}$ $\rho:H\to H$ satisface por definición $$ \forall v\in H: \langle v, \rho v \rangle ~\geq~ 0. \tag{1}$$

Para un espacio de Hilbert complejo, un operador $\rho$ es semipositiva si $$ \exists B: ~~ \rho~=~B^{\dagger} B, \tag{2}$$ y si $$\rho \text{ is diagonalizable in an orthonormal basis with non-negative eigenvalues.} \tag{3} $$

Las caracterizaciones (1) y (2) suelen ser más sencillas de utilizar que la determinación del espectro/valores propios (3).

---

$^{1}$ Ignoraremos las sutilezas con operadores no limitados , dominios, extensiones autoadjuntas etc., en esta respuesta.

Answer 2

En un ordenador, (y probablemente también en papel para una matriz sin estructura partiuclar), la solución más rápida es calcular un Factorización Cholesky y ver si el procedimiento falla. Esto al final es un caso especial del criterio de la respuesta de QMechanic, ya que estás construyendo una factorización $\rho = BB^\dagger$ . (Puede sustituirla por una factorización LDL^T para evitar las raíces cuadradas).

En algunos casos, si la matriz tiene una estructura especial, puede ser más fácil calcular los determinantes y comprobar el criterio de Sylvester, como sugiere AccidentalFourierTransform.