Aplicaciones del modelo de la teoría para el análisis de

Question

Algunos de los más orgánica de las teorías consideradas en el modelo de la teoría (aparte de la teoría de conjuntos, que, a partir de lo que he visto, parece ser muy distinta de la "corriente principal" del modelo de la teoría) son los que surgen de estructuras algebraicas (teorías de resumen de grupos, anillos, campos) y el real y el análisis complejo (teorías de la expansión de los reales y complejos campos, y a veces ambos).

Mientras que las relaciones con el álgebra parece bastante evidente, me pregunto ¿cuáles son algunos resultados interesantes en reales y complejos análisis que tienen buen modelo-teórico de las pruebas (o mejor aún, sólo el modelo teórico de las pruebas se sabe!)?

Por supuesto, hay no estándar de análisis, pero tengo la esperanza de ver algunos ejemplos diferentes. Dicho esto, no me importaría ver un muy interesante de la aplicación de análisis no estándar. :)

Espero que la pregunta es al menos un poco interesante. Sólo tengo un conocimiento muy básico del modelo de la teoría de ese tipo (y lo mismo se aplica para el análisis no estándar), por lo que puede parecer un poco ingenuo, pero me picó la curiosidad, de ahí la pregunta.

Answer 1

Hay un resultado en el análisis funcional, cuya primera prueba conocidos que utiliza la no-técnicas estándar:

Teorema Si un delimitada lineal operador $ T $ sobre un espacio de Hilbert $ \mathcal{H} $ es exponencialmente compacto, es decir, $ P(T) $ es compacto para algunos no-cero del polinomio $ P $, $ T $ tiene un subespacio invariante. Esto significa que hay un no-trivial adecuada subespacio $ W $ $ \mathcal{H} $ tal que $ p(T)[W] \subseteq W $.

La prueba fue dada por Allen Bernstein y Abraham Robinson. Su resultado es importante porque está relacionado con el llamado Invariante-Subespacio Conjetura, un problema sin resolver importante en el análisis funcional. Paul Halmos, un acérrimo crítico de la no-estándar de análisis, se suministra un estándar de prueba de la consecuencia casi inmediatamente después de la lectura de la pre-impresión de los Bernstein-Robinson papel. De hecho, ambas pruebas fueron publicados en el mismo número del Pacífico Diario de Matemáticas!

Answer 2

Ax encontrado el siguiente aplicación en el análisis complejo:

Teorema: Si $f : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$ es un inyectiva función polinómica, que no existe $f_1,...,f_n \in \mathbb{C}[X_1,...,X_n]$ tal que $f=(f_1,...,f_n)$, $f$ es surjective.

Usted puede demostrar que el teorema vale para $f : k^n \to k^n$ donde $k$ es localmente un campo finito, por lo tanto se tiene para la clausura algebraica $\overline{\mathbb{F}_p}= \bigcup\limits_{n \geq 1} \mathbb{F}_{p^n}$$\mathbb{F}_p$. A continuación, se sostiene por la (no trivial) ultraproduct $K=\prod\limits_{p \in \mathbb{P}} \overline{\mathbb{F}_p} / \omega$ donde $\omega$ no es director de ultrafilter sobre el conjunto de los números primos $\mathbb{P}$, debido a que el teorema puede ser expresado como un conjunto de sentencias de primer orden. Pero $K$ algebraica de un campo cerrado de característica $0$ y la teoría algebraica de campos cerrados de característica $0$ es completa, por lo $K$ $\mathbb{C}$ son primarias equivalente. Por último, Ax teorema queda demostrado.

Ax teorema fue generalizado por Grothendieck.

Answer 3

El uso continuo del modelo de la teoría, Ilijas Farah, Brad Hart y David Sherman resultó ser `del hombre ciego versión' de los Limites de la Incrustación de Problema:

Existe un separables ${\rm II}_1$-factor de $M$ de manera tal que todos los otros separables ${\rm II}_1$-factor incrusta en un ultrapower de $M$.

Me parece que este resultado muy divertido. En la C*-álgebra lado, me gusta los resultados a la la Löwenheim–Skolem teorema: construir un no-separables C*-álgebra con su favorito axiomatisable propiedades y vaya a un separables C*-álgebra de la que hereda las propiedades.