Transformada de Fourier

Question

$$\int_{-\infty} ^\infty \frac{x}{x+ic}e^{ikx}dx$$ where $c$ es positivo constante real.

He intentado substituton $u=x+ic$ dando:

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{u-ic}{u}e^{ik(u-ic)}du \\ = \int_{-\infty} ^\infty \frac{u-ic}{u}e^{iku}e^{kc}du \\ = e^{kc}\left(\int_{-\infty} ^\infty e^{iku}du-ic\int_{-\infty} ^\infty\frac{e^{iku}}{u}du\right) \\ = e^{kc}\left(\left.\frac{e^{iku}}{ik}\right|_{-\infty} ^\infty -ic\int_{-\infty} ^\infty\frac{e^{iku}}{u}du\right) $$

No sé cómo evaluar la segunda integral, y no estoy seguro de si sólo hay una manera más fácil de hacer todo el cálculo de que me estoy perdiendo.

Answer 1

El uso de $\frac{x}{x+ic} = 1 - \frac{ic}{x+ic}$, tenemos \begin{align} I(k,c) &= \int_{-\infty}^{+\infty}dx\, \frac{x}{x+ic} e^{i k x}\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}dx\,e^{i k x} \;-\; ic \int_{-\infty}^{+\infty}dx\,\frac{e^{i k x}}{x+ic}\\ &=2\pi\,\delta(k)\;-\; ic \int_{-\infty}^{+\infty}dx\,\frac{e^{i k x}}{x+ic}\, ,\qquad\qquad\qquad (1) \end{align} donde hemos utilizado la representación integral de la función delta de Dirac, $$ \delta(k) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}dx\,e^{i k x}\, . $$

El último integral en la ecuación (1) puede ser evaluado por el contorno de la integración mediante un contorno semicircular. Desde $c>0$, el polo en $-ic$ está en la mitad inferior del plano -. Al $k>0$ debemos cerrar el contorno en la parte superior-medio-plano, por lo que el $e^{ikx}$ plazo se descompone correctamente. Puesto que no hay polos en la mitad superior del plano -, este rendimientos $0$.

Al $k<0$, podemos cerrar el contorno en la parte inferior-medio-plano, acompañando el polo. Por lo tanto: $$ -\; ic \int_{-\infty}^{+\infty}dx\,\frac{e^{i k x}}{x+ic} \;=\; -ic \cdot (-2\pi i) \cdot e^{i k (ic)} \;=\; -2\pi\, c\, e^{-c |k|} \qquad (k < 0) $$

Al $k = 0$, la integral en Eqn. (1) se convierte en \begin{align} -ic \int_{-\infty}^{+\infty}dx\,\frac{1}{x+ic} &= -ic \int_{-\infty}^{+\infty}dx\,\frac{x-ic}{x^2+c^2}\\ &= -ic \int_{-\infty}^{+\infty}dx\,\frac{x}{x^2+c^2} \;-\; c^2 \int_{-\infty}^{+\infty}dx\,\frac{1}{x^2+c^2}\\ &= -ic \times 0 \;-\; \pi c\, , \end{align} donde la primera integral se convierte en cero por la simetría.

Poniendo todo esto junto, tenemos \begin{equation} I(k,c) \;=\; 2\pi\,\delta(k)\;-\;\pi\, c\, e^{-c |k|}\times \begin{cases} 0 & k >0\\ 1 & k = 0\\ 2 & k < 0 \end{casos}\, . \end{equation}