¿Es isomorfo a $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}(x)$?

Question

¿Es $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}(x)$ isomorfo (como campo)? (donde $x$ es un indeterminado en $\mathbb{R}$)

Answer 1

Otro argumento.

En el campo $\Bbb{R}$ cada elemento $z$ o su inverso aditivo es una plaza de algún elemento del campo. Esta propiedad se conserva bajo un isomorfismo. Pero el elemento $x\in\Bbb{R}(x)$ no es un cuadrado de cualquier elemento. Tampoco es $-x$. Por lo tanto podemos concluir que el $\Bbb{R}$ y $\Bbb{R}(x)$ no son isomorfos.

Answer 2

Jajaja Por junto a una raíz de la ecuación de $\Bbb{R}$ $T^2=-1$ obtenemos un campo algebraico cerrado. Si $\Bbb{R}$ y $\Bbb{R}(x)$ eran isomorfos, lo mismo haría pasar junto a una raíz de $T^2=-1$ $\Bbb{R}(x)$ (observe que cualquier isomorfismo mapas $-1$ a sí mismo). Pero $\Bbb{R}(x)[i]\simeq\Bbb{C}(x)$ no es algebraicamente cerrada, así que este no es el caso.

Answer 3

$\mathbb R$ satisface la condición $\forall t\exists s(t=s^2\lor -t=s^2)$, pero no $\mathbb R[x]$ ($t=1/x$ considerar). Por lo que no son isomorfos (de hecho no son incluso "elemental equivalente").

Answer 4

Esta pregunta se plantean a partir de otra pregunta: ¿existe un campo de $k$ tal que $k$ es isomorfo a $k$(x)? La respuesta a esta pregunta parece ser que sí. Es suficiente como para considerar un campo genérico $F$ y deje $k = F(x_i : i \in \mathbb{N})$. Entonces tenemos el siguiente campo de isomorfismo $$ \varphi:k(x) \rightarrow k \quad \text{such that } \varphi(x) = x_0, \: \varphi(x_i) = x_{i+1},\; \varphi_{|k} = 1_k \text{ (the identity on $k$)}.$$

Así, cada campo de $k$ del tipo $F(x_i : i \in I)$ donde $I$ es un conjunto de índices, al menos, contables es isomorfo a $k(x)$.

Por la última declaración que podemos ver $\mathbb{R} = \mathbb{Q}(x_i: i \in I)$ donde $\{ x_i : i \in I \}$ es una base de $\mathbb{R}$ $\mathbb{Q}$- espacio vectorial que debe ser al menos contables. Por lo tanto, $\mathbb{R}$ es isomorfo a $\mathbb{R}(x)$.