¿Es posible identificar unívocamente una forma en $\mathbb{R}^3$ conociendo su superficie y su volumen?

Question

Más concretamente, ¿puede una 2manifold compacta cerrada orientable incrustada en $\mathbb{R}^3$ hasta una isometría, identificarse unívocamente por su superficie y el volumen que encierra? A la inversa, ¿puede darse un contraejemplo para refutar esta afirmación?

En la respuesta a un pregunta anterior relacionados con la desigualdad isoperimétrica una prueba de la afirmación de que "la esfera es la única superficie cerrada en $\mathbb{R}^3$ que minimice la relación superficie/volumen". Eso y el comienzo de esta entrada en Desigualdad de Brunn-Minkowski sobre Terence Tao Novedades me despertó la curiosidad por saber si existen (o no) restricciones más estrictas similares a la desigualdad isoperimétrica.

Como primer paso para construir un contraejemplo, examiné el caso sencillo de un cubo rectangular con la misma superficie y volumen que un cubo. Terminé con la siguiente ecuación: $$ (\underbrace{a b c}_{volume})^\frac{2}{3} = \frac{1}{6}\times\underbrace{(2ab+2bc+2ac)}_{\text{surface area}}\,, $$ donde $a$ , $b$ y $c$ son las dimensiones del cubo rectangular. (Para un cubo de la longitud lateral $d$ , $(d^3)^{2/3}=\frac{1}{6}\,6\,d^2$ de ahí la ecuación anterior). No tengo ni idea de cómo proceder con la búsqueda de cualquier solución definida positiva para el problema anterior. Supongo que se puede simplificar invocando el escalado (isótropo) para fijar una de las dimensiones del cubo rectangular en $1$ y la siguiente ecuación: $$ (a b)^2 = \left(\frac{2}{6}\right)^3(ab+b+a)^3\,. $$

Answer 1

Un sencillo ejemplo es en una buena dirección, pero es demasiado simple. Sabemos que el cubo es el más eficiente parallepiped en términos de volumen a la relación de las superficies de modo que no haya otra forma de paralelepípedo para que coincidan. Pero debemos ser capaces de encontrar dos parallelepipeds, una tortilla y una aguja larga que tienen la misma superficie y volumen. Dejar que un ser $1 \times 1 \times 100$ y el otro$a \times a \times b$$a \gt b$. Entonces podemos escribir dos ecuaciones y resolverlas(gracias Alfa) $$a^2b=100\\2a^2+4ab=402\\2a^2+\frac {400}a=402\\a=\frac 12(3\sqrt{89}-1)\approx 13.651$$