¿Campo del vector gradiente de campo vs.?

Question

Supongamos que tenemos un campo gradiente $\vec{F}$. ¿Hay así un vector campo $\vec{G}$ que el rizo ($\vec{G}$) = $\vec{F}$?

Por lo tanto, estoy tratando de encontrar ejemplos/contador-ejemplos. Si tenemos un campo vectorial y div (enrollamiento ($\vec{F}$)) $\ne$ 0, entonces sabemos que esto no es el caso. Este es mi pensamiento. ¿Puede alguien orientarme a través?

Answer 1

La "costumbre" el resultado es que esto es imposible: es una consecuencia directa de la descomposición de Hodge de campos vectoriales, y puede calcularse suponiendo que $$F = \nabla \phi = \nabla \times G$$ y darse cuenta de que $$\langle F, F\rangle = \langle \nabla \phi, \nabla \times G\rangle = -\langle \phi, \nabla \cdot (\nabla \times G)\rangle = \langle \phi, 0\rangle = 0,$$ de modo que $F=0$. Aquí hemos utilizado el hecho de que el gradiente y divergencia son adjuntos a los operadores, que puede ser probada mediante la integración por partes:

\begin{align*} \langle \nabla \phi, v\rangle &= \int_{\mathbb{R}^3} \nabla \phi \cdot v\,dA \\ &= \int_{\mathbb{R}^3} \left[\nabla \cdot (\phi v) - \phi \nabla \cdot v\right]\,dA\\ &= - \langle\phi, \nabla \cdot v \rangle, \end{align*} donde el primer término de la segunda línea se desvanece por el teorema de Stokes, siempre que $\|p\|^2\phi(p) v(p)$ desvanece como $\|p\|\to \infty.$

Sin embargo , ya que no han dicho nada sobre el comportamiento de los $F$$\|p\|\to\infty$, la "costumbre" de los resultados no necesariamente se aplican. $$F = (0,0,1)$$ es tanto el gradiente de $$\phi = z$$ y el curl de $$G = \frac{1}{2}(-y, x, 0).$$