Si $M\geq0$. ¿Por qué $\overline{\text{Im}(M)}=\text{Im}(M)\Leftrightarrow \text{Im}(M)=\text{Im}(M^{1/2}) $?

Question

Que $E$ ser un espacio de Hilbert complejo. Que $M\in \mathcal{L}(E)^+$ (es decir, $M^*=M$ y $\langle Mx\;,x\;\rangle\geq 0,\,\forall x\in E$).

Por qué % $ $$\overline{\operatorname{Im}(M)}=\operatorname{Im}(M)\Leftrightarrow \operatorname{Im}(M)=\operatorname{Im}(M^{1/2})\; ?$gracias

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que $\text{ker}(M) = \text{ker}(M^{1/2})$. La inclusión $[\supseteq]$ es trivial. Por el contrario, si $x \in \text{ker}(M)$,$ 0 = (Mx,x) = (M^{1/2}x,M^{1/2}x)$, lo $M^{1/2}x = 0$.

$[\Rightarrow]$ Deje $\text{Im}(M) = \overline{\text{Im}(M)}$. Entonces $$\text{Im}(M) = \overline{\text{Im}(M)} = \text{ker}(M)^{\perp} = \text{ker}(M^{1/2})^{\perp} = \overline{\text{Im}(M^{1/2})}$$ Ahora la restricción $M_0$ $M^{1/2}$ $\ker(M^{1/2})^{\perp}$es bijective en $\text{Im}(M)$ y acotada, por lo tanto invertible por la asignación abierta teorema. De ello se desprende que $M_0^{-1}$ es un homeomorphism de$\text{Im}(M)$$\text{Im}(M_0^{-1}) = \text{Im}(M^{1/2})$, lo que implica que $\text{Im}(M^{1/2})$ es cerrado.

$[\Leftarrow]$ Deje $\text{Im}(M) = \text{Im}(M^{1/2})$. Entonces la restricción $M_{00}$ $M^{1/2}$ $\text{ker}(M^{1/2})^{\perp}$como un mapa en $\text{ker}(M^{1/2})^{\perp}$ es un bijection, como $\text{Im}(M^{1/2})$ es denso en $\text{ker}(M^{1/2})^{\perp}$ e izquierda invariantes bajo $M_{00}$. De nuevo, la asignación abierta teorema implica que $M_{00}$ es un homemorphism que muestra que $\text{Im}(M_{00}) = \text{Im}(M)$ es cerrado.